Hatványozottan figyelsz?

Vegyük észre, hogy számok hatványra emelésénél az eredmény utolsó számjegye csak az alap utolsó számjegyétől és a hatványkitevőtől függ! Továbbá akármi is az alap utolsó számjegye, a hatványkitevő függvényében mindig ciklikusságokat figyelhetünk meg az eredmény utolsó számjegyére vonatkozóan, lásd az alábbi táblázatot.

Másrészt viszont egy szám utolsó számjegye lényegében a 10-zel való osztási maradéka, és a ciklikusság nemcsak az utolsó számjegy tekintetében, de bármilyen számmal való osztási maradék tekintetében is megfigyelhető.

A feladatban szereplő torony 2-nek egy hatványa. A tippnél bemutatott táblázat alapján láthatjuk, hogy 2 hatványainak utolsó számjegyei ciklikusan váltakoznak a hatványkitevő függvényében, mégpedig 4-es periodicitással. Tehát ahhoz, hogy megállapítsuk, hogy a torony utolsó számjegye micsoda, azt kell tudnunk, hogy a 2-es kitevője, ami most 3-as számnak egy tornyozott hatványa, az 4-el osztva milyen maradékot ad.

Mármost a 3 hatványai felváltva adnak 1 és 3 maradékot 4-el osztva, hiszen ha az n. hatvány 1 maradékot ad, vagyis 4k+1 alakú, és ezt 3-mal szorozzuk, hogy megkapjuk a következő, azaz (n+1). hatványt, akkor (12k+3)-at kapunk, aminek 3 lesz a maradéka 4-gyel osztva, és ha ezt tovább szorozzuk 3-mal, akkor pedig (36k+9)-et kapunk, aminek újra 1 lesz a maradéka 4-el osztva, tehát ez felváltva fog ismétlődni.

A 3 tornyozott hatványának 4-gyel való osztási maradékához tehát azt kell tudnunk, hogy a kitevő páros vagy páratlan, de mivel a kitevő 4-nek a hatványa, így tudjuk, hogy páros. Vagyis azt kapjuk, hogy a 3 tornyozott hatványának a 4-el való osztási maradéka 1 lesz, mint minden páros kitevőjű 3 hatvány esetében, lásd például a 9-et. Ha viszont a 4-el való osztási maradék 1, akkor a 2 hatvány utolsó számjegye, tehát a teljes torony utolsó számjegye 2 lesz a táblázat szerint.