Ész Ventura: Ürítsd ki a topológusok boroskancsóját!

Milyen szerencse, hogy a háromdimenziós terünkben van kint és bent, és ha veszel egy lezárt palack bort, akkor abból nem fog elpárologni a drága nedű, se másmilyen módon megszökni, amíg fel nem nyitod. Gondolkodtál már azon, hogy szükségszerű-e, hogy így legyen?

A bort a lezárt palack összefüggő zárt felületként határolja, amely a teret két részre osztja, kintre és bentre, ezért is mondjuk azt, hogy egy ilyen felületnek két oldala van. Ebből a szempontból lényegtelen, hogy a palack alakja pontosan milyen, teljesen hasonló módon viselkedik egy gömbfelülethez, és a topológusok szemében, akik a folytonos deformációt a lényeget nem változtató megengedhető műveletnek tartják, ezek ekvivalensek. Nem véletlen, hogy a kint és bent fogalmához sem szükséges a dolgok pontos alakját és méreteit figyelembe venni, vagyis a kint és bent ún. topologikus fogalmak.

De vajon minden felületnek két oldala van?

Azt, hogy egy felületnek csak egy oldala legyen, kis trükkel elérhetjük. Vegyünk egy szalagot, csavarjunk az egyik végén egy fél fordulatot, és ragasszuk össze a két véget. Így kapjuk a jól ismert Möbius-szalagot, aminek csak egyetlen oldala lesz. Ha elkezdjük befesteni a szalagot, akkor azt vesszük észre, hogy nem kell felemelnünk az ecsetet ahhoz, hogy be tudjuk festeni a papír mindkét oldalát, mert azok valójában összefüggnek, direkt így konstruáltuk. A Möbius-szalag tehát ún. egyoldalú felület, azonban van neki pereme, vagyis nem zárt felület. Érdekesség viszont, hogy peremből is csak egy van neki.

Ha perem nélküli egyoldalú felületet szeretnénk, akkor megpróbálhatjuk ugyanezt a trükköt eljátszani egy csővel, például egy porszívócsővel. Illesszük a cső két végét úgy össze, hogy a cső belseje a cső külsejében folytatódjék. Ez sajnos nem fog menni, csak akkor, ha a cső falára valahol vágunk egy lyukat, és a csövet önmaga belsejébe dugva belülről találkozik a két vég. Ha ezt gondolatban, önátmetszés nélkül képzeljük el, akkor kapjuk az ún. Klein-kancsót, amely tehát egyoldalú felület, a teret nem bontja két részre, vagyis a kint és bent egybefolyik.

Fotó: Wikimedia Commons

Mint említettük, önátmetszés nélkül a Klein-kancsó nem létrehozható, vagyis nem ágyazható a háromdimenziós térbe, de ha a metszés helyén kicsit kilépnénk a negyedik dimenzióba, akkor már megvalósítható lenne. A Klein-kancsó tehát olyan érdekes felület, amely lokálisan mindenhol kétdimenziós, de a befogadásához nem elég az eggyel magasabb háromdimenziós tér, csak négy dimenzióban létezik. A kint és bent lényegében az önátmetszés helyén történő dimenzióugrás miatt tud összeolvadni, nagyjából úgy, ahogy egy féreglyukon keresztül át tudunk ugrani a tér egy távoli pontjába.

Ahogy azonban a fenti ábrán is látszik, el szokás készíteni a Klein-kancsót üvegből, ez azonban nem igazi Klein-kancsó a szó matematikai értelmében, csak egy tökéletlen háromdimenziós utánzat. Itt a vastagsággal rendelkező üvegfal lenne hivatott a vastagsággal nem rendelkező matematikai felületet illusztrálni, de nem csak a vastagság okozza a különbséget. Az önátmetszés helyén lyukat kell vágnunk a kancsó falába, és a kancsó szájából formálódó csövet ezen a lyukon keresztül dugjuk vissza a kancsóba. Ezután a lyuk falát összeforrasztjuk a cső külsejével, ezáltal a lyuk szélén egy elágazó (vastagsággal is rendelkező) felület jön létre. Bár amit így kapunk, nem a legpraktikusabb boroskancsó, hacsak nem az a cél, hogy józanok maradjunk, hiszen a feltöltése és ürítése elég nehézkes.

31. feladvány: 3D Klein-kancsó

Tekintsük a fenti ábrán vagy a videón is látható Klein-kancsó utánzat üvegből készült falának teljes külső-belső felületét. Ez tehát már nem a matematikai értelemben vett Klein-kancsó felület, és nem is annak egy önátmetsző verziója. Mi ugyanis most a valódi vastagsággal is rendelkező üvegfal mindkét oldalát, azaz felületét tekintjük! Érdekesség azonban, hogy bár ez a felület nem lesz egyoldalú, mert mindehol levegő van az egyik oldalon, és az üveg anyaga a másik oldalon, de az üvegfal két oldala egy összefüggő felületet fog alkotni, mert a kancsónak a belseje és külseje összefügg. De mi ez a felület valójában? Ha megengedhető lenne a felület folytonos deformációja akár önmagán keresztülhatolva is, akkor kigubancolás után az alábbi alakzatok közül melyikre hasonlítana? A topológia nyelvén: az alábbi alakzatok közül melyikkel homeomorf a vastagsággal rendelkező 3D Klein-kancsó felülete?

Haladóknak: ténylegesen hány dimenzióban lehet önátmetszés nélkül folytonosan átdeformálni a szóban forgó két felületet egymásba?

IllusztrációIllusztráció: from Wikipedia

Felajánlott koponyák:

A megfejtéseket az eszventura@qubit.hu címre várjuk részletes magyarázattal együtt. A legelső és a legötletesebb versenyzők felkerülnek az Ész Ventura dicsőségfalára, közöttük és az egész évben legtöbb jó megoldást beküldők között év végén nyereményeket sorsolunk ki. Kérjük, leveleiket ékezetesen írják alá, álneveket is elfogadunk. Az e-mail subject mezőjében, kérjük feltüntetni, hogy 'megoldás', illetve sorszámmal jelezni, hogy melyik feladványról van szó. Beküldési határidő: szeptember 10. éjfél.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, bűvész.