Létezik tökéletes szimmetria?

A mikrovilág fizikai folyamataiban alapvető szerepet játszik a szimmetria, de a fogalom eredete mindennapok tapasztalatainkra vezethető vissza. Szimmetriával találkozunk, ha tükörbe nézünk, vizsgálhatjuk arcunk formáját, szemünket, vagy két fülünket, és szimmetrikus két kezünk, lábunk is, minthogy a jobb és a bal egymásnak tükörképei. Szimmetrikus lehet az épületek sora és felépítése, szimmetrikusnak találjuk a hópelyheket is, ha nagyítóval vizsgáljuk őket, és megcsodálhatjuk a kristályok szimmetriáit is. Viszont minden szimmetria viszonylagos, csak addig érvényes, amíg figyelmen kívül hagyjuk az apró részleteket. Így arcunk sem tökéletesen szimmetrikus, sőt megkérdezhetjük, vajon létezik-e egyáltalán tökéletes szimmetria? Megszokott világunkban a kérdésre a nem a válasz, amelynek fizikai magyarázatát a véletlen eltérések adják meg. A tökéletes szimmetria nagyfokú rendezettséget jelent, de ezt megbolygatja a véletlen, amely többé-kevésbé megzavarja a szabályos sorok rendjét, és ennek mértékét adja meg a fizika az entrópiával.

Mit értünk az entrópia alatt?

Az entrópia valószínűséget fejez ki. Ha néhány dobókockát feldobunk, annak kicsi a valószínűsége, hogy mindegyik ugyanazt a számot, például a hatost mutassa. Hat kocka esetén csak egyetlen kombinációban lesz mindegyik szám hatos, de annak esélye, hogy az egyik ötös legyen, már hatszor valószínűbb, mert bármelyik kocka átfordulhat az ötös számra. A kombinatorika matematikai szabályai alapján számíthatjuk ki, hogy az egyes számeloszlások hányszor fordulhatnak elő. Itt most nem célunk matematikai formulákat bemutatni, csak az entrópia fogalmához akarunk közelebb jutni. Ez azt mondja ki, hogy ha teljesen a véletlen határozza meg, hogy milyen számok kerülnek felülre az egyes kockákon, akkor az egyes számkombinációk előfordulási száma határozza meg, hogy mekkora esély van megvalósulásukra. Ezt nevezzük valószínűségnek. Rendezzük el a kockákat egy szitán úgy, hogy felül ugyanazok a számok legyenek, majd rázzuk meg a szitát alaposan: ekkor bizony nagyon ritkán fogunk látni egyforma számokat.

Entrópia és valószínűség

Gázokban az egyes molekulák átlagos energiáját a hőmérséklet szabja meg, de ez nem azt jelenti, hogy minden egyes molekula energiája egyenlő lenne, mert ennek valószínűsége épp úgy kicsi, mint ahogy a kockáknál sem valószínű, hogy minden egyes kocka ugyanazt a számot mutassa. Ha az energiát tekintjük rendezőelvnek, azt várnánk, hogy minden molekula energiája minimális legyen, ez felelne meg a teljes rendezettségnek. Ez a rend mégis megbomlik amiatt, hogy nagyobb a valószínűsége az olyan eloszlásnak, amely sokféleképp valósulhat meg. Hogyan tudjuk jellemezni a rendezetlenség mértékét, és hogyan alakul a két ellentétes rendező elv viszonya? Erre ad választ a termodinamikában az entrópia fogalma, amit Rudolf Clausius német fizikus és matematikus (1822-1888) fogalmazott meg. Eszerint az entrópia a valószínűségtől függ, de nem arányosan, hanem logaritmikusan.

Miért lép fel épp a logaritmus, miért nem egyenesen arányos az entrópia a lehetséges kombinációk számával? Ez egy másik elvre vezethető vissza, amely szerint a gázokban az ütközések gyakoriságát az határozza meg, hogy egy adott hőmérsékletű és energiájú állapotban hány molekula található. Jelöljük az N(E) függvénnyel az E energiájú molekulák számát, a populációt. A molekulák állandó ütközésben vannak, ami az energia megváltozásával jár együtt, és minél több molekula van egy adott energiaállapotban, annál nagyobb az esély az ütközésre és ezáltal az energia megváltozására:

A differenciálegyenlet megoldása szerint a populáció logaritmusa arányos az energiával:

ln(N) = – k· E

A negatív előjel annak felel meg, hogy a kisebb energiájú részecskéknek nagyobb a populációja. Ezt az összefüggést a populáció és az energia között nevezzük Boltzmann-eloszlásnak, amely a hőmérséklet alapján számítható átlagenergiával veti össze a részecskék számát. Az előbbi érvelés fontos pontja, hogy elvben valamennyi molekula nyomon követhető, azaz megkülönböztethető egymástól.

A populáció és energia közötti logaritmikus összefüggést alkalmazzuk az entrópia definíciójában:

S = – k · ln(w)

A k arányossági tényezőt nevezzük Boltzmann-állandónak k = 1,380649·10⁻²³ J/K.

Az entrópia a rendezetlenség irányában hat, mértéke pedig attól függ, hogy hány molekuláról van szó. Ez a szám hétköznapi viszonyok között óriási: nagyságrendjét az Avogadro-féle szám: 6x10²³ adja meg. Ez megmutatja, hogy 18 gramm vízben hány molekula van. Mivel hétköznapi tárgyaink is ilyen óriási számú molekulából épülnek fel, így rendkívül nagy annak valószínűsége, hogy sok helyen megbomlik a molekulák szabályos rendje, és sérülni fog a tökéletes szimmetria.

A tárgyak megkülönböztethetősége

Van egy másik fontos jellemzője a hétköznapi szimmetriának, ez pedig a megkülönböztethetőség. Bármilyen tárgyról is legyen szó, a szimmetriát alkotó egyes motívumok egymástól függetlenül megfigyelhetők, hiszen minden egyes részletről számtalan foton érkezik szemünkbe. Ez a megkülönböztethetőség mindig fennáll szokásos világunkban, de a mikrovilágban gyakran nem teljesül. Éppen ez azaz ok, amiért alapvető szerepe van a szimmetriának a mikrovilágban.

A valószínűség megjelenése a mikrovilágban

Nézzük először az elektronok világát egy molekulán belül. Induljunk ki a hidrogénatomból, ahol egy elektron „kering” a proton körül. Ez szimmetria szempontból hasonló ahhoz, ahogy a Hold kering a Föld körül: mindkét esetben független a vonzó kölcsönhatás iránytól, és csak a két fizikai objektum távolsága számít. Mégis van egy döntő különbség: a Hold pozícióját nyomon követhetjük úgy, hogy meghatározzuk az irányt a csillagokhoz képest, de ezt nem tehetjük meg az atomban. Azt mondhatjuk, hogy a Hold mozgásánál az irányok megkülönböztethetők, de ugyanezt nem mondhatjuk az elektronpálya leírásakor. Ezért a Hold pályáját az idő függvényben írja le a klasszikus mechanika, míg az elektronpálya esetén a kvantummechanika csak az irány valószínűségéről beszél a hullámfüggvény segítségével. Hidrogénatomban ez azt jelenti, hogy minden irány egyformán valószínű. A valószínűség megjelenésének eredete ezért az irányok megkülönböztethetetlensége. Stacionárius elektronállapotban, ahol az energia nem változik, az idő szerepét is átveszi a valószínűség. Ha az elektron „keringése” az időben történne, az elektrodinamika törvényei megkövetelnék, hogy sugárzás jöjjön létre, minthogy azonban a pályát a valószínűség írja le, így az elektron mentesül az energiaveszteségtől.

De mi történik, amikor az elektron a nagyobb energiájú pályáról átugrik egy kisebb energiájúra? Ekkor már időbeli eseményről van szó, és emiatt sor kerül fotonkibocsátásra is. Minden fotonkibocsátás vagy -elnyelés a ℏ Planck-állandó mértékében változtatja meg az elektron impulzusmomentumát, ezért az elektronpályához tartozó impulzusmomentum is csak ℏ többszöröse lehet - végeredményben ez magyarázza, hogy az elektronok energiája ugrásszerűen változik.

A szimmetria szerepe a kémiai kötésben

Az atom rendszáma az atommag protonjainak számával egyezik meg, és a semleges atomban annyi negatív töltésű elektron helyezkedik el, amekkora a rendszám. A Jupiter holdjainak számát nem korlátozza semmilyen szabály, és minden hold pályája külön-külön nyomon követhető, hiszen fotonok serege jut el hozzánk mindegyikről, de ugyanez nem érvényes az atom elektronjaira. Ezt fogalmazza meg az elektronok megkülönböztethetetlenségi szabálya, amely szerint két elektronnak nem lehet minden kvantumszáma azonos (Pauli-féle kizárási elv).

Az egyes kvantumszámok az elektronok számára eltérő térbeli valószínűségi eloszlást írnak elő, de ez a tér kiegészül az általunk megszokott háromdimenziós térhez képest. Itt a többletet a spin jelenti, amelyik megduplázza az elektronpályák számát. A pálya-impulzusmomentum „L” kvantumszáma 0, 1, 2, 3 . . .- lehet, ami a spinnel együtt 2·(L + 1), azaz 2, 6, 10, 14 . . . azonos energiájú állapotot hoz létre. Az elektronok energiáját elsősorban az „n” fő kvantumszám határozza meg. Az atom elektronjai különböző energiájú héjakba rendeződnek. Az egyes héjakon ténylegesen található elektronok számát viszont nem a Boltzmann statisztika mondja meg, hanem a Fermi-féle, amely az elektronok megkülönböztethetetlensége miatt tér el a Boltzmann eloszlástól. Ez abban nyilvánul meg, hogy csak a legalsó energiaszintek lesznek betöltöttek, és az entrópia nem játszik szerepet. Az atommag és az elektronok közötti vonzási potenciál akkor maximális, illetve az elektron rendszer energiája akkor minimális, ha az atommag töltése megegyezik az elektronok számával. Egyes atomoknál ez úgy teljesül, ha egy elektron magasabb energiájú héjba kényszerül, míg másoknál épp egy elektron hiányozhat a betöltött héjhoz. Ilyenkor alakulhat ki ionos kötés, amelyben az egyik atom lead egy elektront, és így pozitív töltése lesz, míg a másik ezt felvéve negatív iont hoz létre.

A kémiai kötésnek azonban nem ez az alapvető formája, hanem a kovalens kötés, amely az atomok közötti megosztott pályákon alapul. Ennek magyarázatát is egy szimmetriaelv adja meg: az időtükrözés. Az időtükrözés szimmetriája épp ellentéte annak, amit szokásos világunkban tapasztalunk, hiszen a múltba nem lehet visszatérni. A molekulák létrejötte csökkenti a szimmetriáját, és emiatt felhasadnak az energianívók, de nem mind, mert az időtükrözés szimmetriája miatt két nívó energiája azonos marad. Ez teszi lehetővé, hogy párokba rendeződött elektronok kössék össze az atomokat a molekulákban.

Paritássértés a gyenge kölcsönhatásban

Lépjünk tovább az atomok és molekulák világából az atommagok és szubatomi részecskék felé, ahol már a gyenge és az erős kölcsönhatás az úr. Itt már a szimmetria a legfontosabb elv, ami meghatározza, hogyan alakulhatnak át az elemi részecskék, és milyenek az összekötő erők. Különösen izgalmas a paritássértés problémája a neutron bétabomlása során, amit a gyenge kölcsönhatás idéz elő. A szimmetria úgy sérül, mint ha felemelt kezünket a tükörben úgy látnánk, hogy az lefelé mutat. Vizsgáljuk meg elektromos és mágneses terek kombinációjával, hogy az elbomló neutronból kilépő elektron és proton milyen pályán halad! Ekkor az energia- és az impulzusmegmaradás törvénye megköveteli, hogy kilépjen egy harmadik, nem detektálható részecske is: ez a neutrínó, ami semleges töltése miatt nem hagy észlelhető nyomot a kísérleti berendezésben.

Rendezzük át a kísérletet úgy, hogy az elektromos és mágneses terek iránya az előző kísérlet tükörképe legyen! Ekkor azt várnánk, hogy a részecskék pályája a korábbi tükörképe lesz, a tapasztalat viszont a várakozással ellentétes eredményt mutat. Ez azért meglepő, mert bármely más kísérletben, ahol a gyenge kölcsönhatás nem játszik szerepet – csak a gravitáció és az elektromágnesesség –, mindig fennáll a paritás, azaz a tükrözés szimmetriája. A szimmetria azonban helyreáll, ha a tükörkísérletben a neutront antineutronnal cseréljük fel. Tehát az érvényes szimmetriaművelet a térbeli tükrözésen kívül megkívánja, hogy a részecske helyett antirészecske szerepeljen a kísérletben. Ezt hívja a szakirodalom „CP” szimmetriának, amiből „C” a töltéskonjugáció (antineutron bomlásakor a negatív elektron helyett a pozitív pozitron, a pozitív proton helyett a negatív antiproton lép ki), míg „P” jelöli a paritást. A paritássértés kimutatásáért nyerte el 1957-ben Tsung-Dao Lee és Chen-Ning Yang a Nobel díjat.

Van azonban a szubatomi részecskék dzsungelében olyan elemi objektum is, ami még a CP szimmetriának sem engedelmeskedik. A szimmetria ugyanakkor helyrehozható, ha az előző két tükrözésen kívül az idő irányát is megfordítjuk: ez a CPT szimmetria. Az időtükrözés szükségességét az okozza, hogy a tér és idő a relativitáselméletben összekapcsolódik, ezért a teljes tükrözést a négydimenziós téridőben kell végrehajtani.

A szerző fizikus, a BME és az ELTE címzetes egyetemi tanára. A Qubiten a Kalandozások a fizikában címen futó sorozatának korábbi írásai itt olvashatók.