Ész Ventura: Megmérhető egy ismeretlen hatékonyságú teszttel a fertőzöttek ismeretlen száma?
A diagnosztikai tesztek teljesítményét két mutatóval szokás megadni: a szenzitivitással és a specificitással. Egy teszt szenzitivitása 100 százalékos, ha minden fertőzöttet garantáltan kimutat a teszt, azaz fertőzött egyén esetében a teszteredmény mindenképpen pozitív. A specificitás akkor 100 százalékos, ha a teszt soha nem ad álpozitív eredményt, azaz nem fertőzött egyén esetében a teszt nem adhat pozitív eredményt.
Ilyen tesztek sajnos nem léteznek a valóságban: a tesztek szenzitivitása és specificitása mindig kisebb, mint 100 százalék. De honnan tudjuk, hogy milyen a tesztek hatékonysága, ha éppen a tesztekkel szeretnénk mérni a fertőzöttek ismeretlen számát? Ha van egy új fertőző betegség, és alkotnak erre egy 100 százalékos specificitású új tesztet, még akkor sincs elég információnk, hiszen abban az esetben, ha mondjuk 1000 emberből 100-ra pozitív eredményt ad a teszt, nem tudhatjuk, hogy a fertőzöttek száma valóban 100, mert a tesztünk 100 százalékosan szenzitív, vagy mondjuk 200 fertőzött van, a tesztünk szenzitivitása viszont csak 50 százalékos. Erről a problémáról szól az alábbi feladat.
89. feladvány: Ismeretlen hatékonyságú tesztek
Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy egy új fertőző betegség tesztelésére van két egymástól teljesen független új teszt, amikről tudjuk, hogy sosem adnak hamis pozitív eredményt, azaz a specificitásuk 100 százalékos. Szenzitivitásuk és a fertőzöttek száma azonban ismeretlen. Tegyük fel, hogy 10 000 véletlenszerűen választott főt tesztelünk mindkét teszttel, és az alábbi eredményeket kapjuk.
- pozitív 1-es teszt, pozitív 2-es teszt: 960 fő
- pozitív 1-es teszt, negatív 2-es teszt: 640 fő
- negatív 1-es teszt, pozitív 2-es teszt: 240 fő
- negatív 1-es teszt, negatív 2-es teszt: 8160 fő
Meg lehet-e ebből állapítani valamit a tesztek szenzitivitásával kapcsolatban? Mennyi lehet a fertőzöttek száma a csoportban, mi a legvalószínűbb érték?
Bónusz kérdés haladóknak: Ha becsléseket adunk a fent kérdezett mennyiségekre, akkor azokhoz milyen hibákat rendelhetünk? További kérdés: általánosságban mi a helyzet akkor, ha a tesztek specificitása sem ismert? Lehetséges annyi különböző fajta tesztet használni, hogy a teszteket jellemző szenzitivitásokat, specificitásokat és az átfertőzöttséget is mérni tudjuk? Mennyi a tesztek minimális száma, ami ehhez szükséges?
Nehézségi szint:
A megfejtéseket részletes magyarázattal együtt az eszventura@qubit.hu címre várjuk. A legértékesebb megoldást küldő versenyzők felkerülnek az Ész Ventura dicsőségfalára, közöttük és minden jó megoldást beküldő versenyző között év végén nyereményeket sorsolunk ki. Az e-mail subject mezőjében kérjük sorszámmal jelezni, hogy melyik feladvány megoldásáról van szó. Beküldési határidő: június 5. éjfél.
Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus és bűvész.
Kapcsolódó cikkek a Qubiten: