Ész Ventura: El lehet dönteni erről a tíz mondatról, hogy igaz vagy hamis?

Nincsen jövőnk tudomány nélkül, nincsen Qubit nélkületek. Támogasd a munkánkat!

A paradoxon olyan állítások halmaza, amelyek látszólag ellentmondásra vezetnek, vagy a józan észnek ellentmondó következtetés vonható le belőlük. Több fajtájukat lehet megkülönböztetni: 

  • Igaz paradoxon: következtetése igaz, de józan ésszel abszurdnak tűnik.
  • Hamis paradoxon: következtetése valójában hamis, levezetésében rejtett hiba van, amely hibás logikai következtetésen vagy valótlan feltételezésen alapul.
  • Valódi ellentmondás: fentiekbe be nem besorolható paradox következtetés, amelynek alapja a valóságról alkotott képünk vagy a modellrendszer ellentmondásos, hiányos vagy hibás voltából adódik.

A besorolás nem mindig egyértelmű, sőt idővel változhat. Paradoxonok mindenféle tudományterületen előfordulnak, és a valódi ellentmondások a leghasznosabbak, mivel többnyire a rendszer finomítását, továbbfejlesztését eredményezik. A híres paradoxonok mögött megbújó kétértelműségek és ki nem mondott, hibás feltételezések tudatosodása számos tudományos, filozófiai és matematikai felfedezéshez vezetett, sőt a tudomány legnagyobb áttörései többnyire paradoxonokhoz kötődnek, és sokszor több különböző irányba is megtörténik a továbbfejlődés. Ennek az az oka, hogy a paradoxonok általában két dolgot ütköztetnek, és bár elsőre zsákutcának tűnhet egy ellentmondás, amiben elakadunk, valójában több különböző irányba is tovább vezethet a feloldás útja. Egy paradoxon élménye a viaskodás, hogy valahányszor elismerjük az egyik oldal igazát, azon kapjuk magunkat, hogy a másik oldalnak is igazat kell adnunk. Ha azonban túl tudunk lépni tanult sémáinkon, és leásunk a dolgok mélyére, akkor általában megtalálhatók azok az új nézőpontok, új rendszerek, amik szerint mindkét oldalnak ténylegesen is igaza lehet.

Az egyik legismertebb és legrégibb ilyen paradoxon a hazug paradoxona, ami rengeteg féle variációban ismert. Legegyszerűbb formája az alábbi állítás:

Ez a mondat hamis.

Ez a mondat nem lehet igaz, hiszen akkor éppen saját maga ellenkezőjét állítaná, de hamis sem lehet, mert akkor az állítás hamis voltából azt a következtetést lehetne levonni, hogy mégiscsak igaz. Hasonló paradoxonra vezet az alábbi két állítás együttese, amelynek belátását a kedves olvasóra bízzuk.

A következő mondat igaz.

Az előző mondat hamis.

A paradoxont többféleképpen is fel lehet oldani, és ezek mind a matematika egy-egy ágának kifejlődéséhez vezettek. Az egyik lehetőség, ha elfogadjuk, hogy nincs feltétlenül minden megfogalmazható állításnak igazságértéke – vagyis abból, ha valami nem igaz, nem következik automatikusan az, hogy hamis, és ha valami nem hamis, akkor abból nem következik, hogy igaz, hanem lehet se nem igaz, se nem hamis. Ez vezet az úgynevezett értékréses logikai rendszerekhez.

Ha mégiscsak ragaszkodunk ahhoz, hogy mindenről eldönthető, hogy igaz-e vagy sem, akkor vizsgáljuk meg azt, hogy mi alapján dönthetünk valaminek az igazságtartalmáról. Arisztotelész a kijelentő mondatok igazságát a valósághoz való hűségre vezeti vissza. Egy kijelentő mondatot tehát akkor nevezünk igaznak, ha az, amit állít, a valóságban is úgy van. Amikor tehát azt gondoljuk, hogy a valóságnak való megfelelés segítségével minden kijelentő mondatról el tudjuk dönteni, hogy igaz vagy sem, akkor lényegében azt feltételezzük, hogy létezik egy hozzárendelés, amely minden mondathoz vagy az igaz, vagy a hamis értéket rendeli. Ebben az értelmezésben a paradoxont az időbeli eltérés okozza. Amikor ugyanis a fenti állítások igazságtartalmának meghatározására kerül sor, akkor már tudnunk kéne, hogy az igazak-e vagy sem, ezt viszont még nem határoztuk meg.

Matematikán belül ezt a problematikát Alfred Tarski tisztázta, és lényegében az ő megközelítése alapján született meg a logikai szemantika és a modellelmélet. Eszerint arról van szó, hogy a matematika formális nyelve különbözik attól a nyelvtől, amiben annak igazságtartalmára vonatkozó állítások megfogalmazhatók. Ez utóbbit úgynevezett metanyelvnek hívjuk. Így a hazug paradoxonában szereplő igaz vagy hamis szavak a formális nyelven kívüli metanyelvből valók, tehát a mondat igazsága a metanyelvbeli fordításának meta-igazságán múlik, és nem saját igazságértékén. Természetesen a köznyelvben azt mondunk, amit akarunk, ott ez az ellentmondás nem oldható fel az arisztotelészi elvet szem előtt tartva.

Egy másik lehetőség a problémák elkerülésére, ha meghatározzuk, hogy pontosan milyen axiómákból kiindulva milyen formális következtetéseket használhatunk állítások igazságtartalmának levezetése során, azaz pontosan milyen lépésekből állhat egy bizonyítás. Ha ebben alulról építkezve a szükséges mértékben korlátozzuk magunkat, akkor egy ilyen deduktív rendszer biztosítani tudja, hogy minden levezethető tétel igaz legyen az axiomatizált rendszerben. Az viszont előfordulhat, hogy nem minden állításról tudjuk eldönteni, hogy igaz-e. Sőt az ilyen ellentmondásmentes (és a természetes számok elméletét tartalmazó)  formális-axiomatikus rendszerekre vonatkozik Gödel első nemteljességi tétele, amely kimondja, hogy mindig megfogalmazható olyan állítás, amely se nem bizonyítható, se nem cáfolható. Ennek ellenére a matematika legtöbb területén ezt az axiomatikus megközelítést alkalmazzák, ahogy például a halmazelméletben vagy a geometriák esetében is.

Ilyen se nem bizonyítható, se nem cáfolható állításokat mi is felírhatunk, tekintsük például az alábbi mondatot:

Ez a mondat igaz.

A fenti mondat lehet igaz is és hamis is. Láthatjuk tehát, hogy ha csak úgy felirkálunk önmagukra és egymásra hivatkozó mondatokat, akkor előfordulhat, hogy az állítások egymásnak ellentmondanak tetszőleges igazságértékek esetén, tehát paradoxonra jutunk. De előfordulhat az is, hogy nincs ellentmondás, de nem is meghatározható az állítások mindegyikének igazságtartalma. Szerencsés esetben pedig lehetséges, hogy csak egyetlen olyan realizáció van, amely konzisztens, így  kikövetkeztethető, hogy mely állítás igaz, és melyik nem az állítások rendszerében. Lássuk, menni fog-e ez az alábbi esetben?

114. feladvány: Tíz állítás

Tekintsük az alábbi tíz állítást ebben a sorrendben:

1. Minden igaz állítás mellett van egy hamis állítás (alatta vagy fölötte).

2. Minden hamis állítás mellett van egy igaz állítás (alatta vagy fölötte).

3. Van két igaz állítás közvetlenül egymás mellett.

4. Van két hamis állítás közvetlenül egymás mellett.

5. Sehol nincs három igaz állítás közvetlenül egymás mellett.

6. Sehol nincs három hamis állítás közvetlenül egymás mellett.

7. Az igaz állítások száma prímszám.

8. A hamis állítások száma prímszám.

9. Több igaz állítás szerepel itt, mint hamis.

10. Több hamis állítás szerepel itt, mint igaz.


Mit állíthatunk a fenti állítások rendszeréről? Meghatározható, hogy melyek az igaz és hamis állítások?

Bónusz kérdés: keverjük össze a fenti állításokat az összes lehetséges módon. Hány olyan sorrend van, ami szerint felírva őket minden állításról pontosan meghatározható, hogy igaz-e vagy hamis?

Nehézségi szint:

A megfejtéseket magyarázattal és ábrával együtt az eszventura@qubit.hu címre várjuk. A legértékesebb megoldást küldő versenyzők felkerülnek az Ész Ventura dicsőségfalára, közöttük és minden jó megoldást beküldő versenyző között év végén nyereményeket sorsolunk ki. Az e-mail subject mezőjében kérjük sorszámmal jelezni, hogy melyik feladvány megoldásáról van szó. Beküldési határidő: április 15. éjfél.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus és bűvész.