Ész Ventura: Játék a hétszögekkel

Támogasd a tudomány népszerűsítését, segítsd a munkánkat!

A hétszög a szabályos sokszögek közül az első, amely nem szerkeszthető euklidészi módon, azaz csak körző és közönséges vonalzó használatával nem tudjuk előállítani. Ez az első olyan szabályos sokszög is, amellyel sem a sík nem parkettázható, sem szabályos testnek nem oldala (az ötszög a dodekaéder oldalaként megjelenik, hatszöggel pedig parkettázható a sík). Ezért tehát különösképpen érdekes, ha sem síkon, sem térben nem tudunk szabályos hétszögekkel résmentes fedést készíteni – síkban végtelent, térben pedig önmagába záródó határtalan felületet –, akkor az az egyszerűbb feladat egyáltalán megoldható-e, hogy réseket hagyva önmagába visszaforduljon egy hétszögekből álló mintázat, és ha igen, akkor milyen módokon. Erről szól az alábbi feladat.

137. feladvány: Gyűrű szabályos hétszögekből

Az Egyesült Királyságban jelenleg kétféle hétszög alakú pénzérme is van forgalomban: a 20 penny-s és az 50 penny-s érme.  Természetesen az érmék csúcsai a valóságban lekerekítettek, és az élük is egy picit dundi, de most a feladat kedvéért tételezzük fel, hogy teljesen szabályos hétszög alakú érméink vannak. Elkezdjük ezeket az érméket az asztalon egymás mellé illeszteni, mindig úgy, hogy a következő érme egyik oldala pontosan illeszkedjen az előzőleg lerakott érme egyik oldalához. Lehetséges-e, hogy egy idő után körbeérünk, és a lerakott érménk egyszerre illeszkedik az előző érméhez és a legelsőként lerakott érméhez is? Nem nehéz belátni, hogy létezik egy egyszerű forgásszimmetrikus megoldás, ami az alábbi ábrán is látható, és 14 érmét használ. Azt is könnyű megmutatni, hogy ha valahány érmére létezik ilyen záródó megoldás, akkor ahhoz páros sok érmére van szükség. Mármost az a kérdésünk, hogy létezik-e megoldás 10, 12, 16, 18 vagy 20 érmével?

Haladóknak: Tíz érme alatt hány különböző megoldás létezik?

Illusztráció: Gáspár Merse Előd

Nehézségi szint:

A megfejtéseket részletes magyarázattal és a szükséges ábrákkal együtt az eszventura@qubit.hu címre várjuk. A legértékesebb megoldást küldő versenyzők felkerülnek az Ész Ventura dicsőségfalára, közöttük és minden jó megoldást beküldő versenyző között év végén nyereményeket sorsolunk ki. Az e-mail subject mezőjében kérjük sorszámmal jelezni, hogy melyik feladvány megoldásáról van szó. Beküldési határidő: december 15. éjfél.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.