Ész Ventura: Hányféleképpen lehet öt darab négydimenziós kockát összeilleszteni?

A dominót mindenki ismeri: két négyzet összeillesztéséből kapható elem, rajta pöttyökkel, amivel népszerű társasjáték játszható. Ha a pöttyöktől eltekintünk, és több négyzetet illesztünk össze éleik mentén, akkor kapjuk az általánosabb poliominókat. Az elnevezés Solomon W. Golomb amerikai matematikustól származik, aki 1965-ben megjelent Polyominoes című könyvében foglalkozott ilyen geometriai elemek kombinatorikájával, és vetett fel olyan problémákat is, amik máig megoldatlanok.

A téma azóta hatalmas területté nőtte ki magát, és feladványok garmadája kapcsolódik különféle poliominókhoz. Ezek közül minden bizonnyal a legismertebbek az öt négyzetből álló elemek, az úgynevezett pentominók. Ezek az elemek ugyanis még elég egyszerűek, de már elég sokfélék ahhoz, hogy rengeteg féle feladvány készíthető velük, az egészen egyszerűektől akár a több napos fejtörést igénylőkig. A legelső, még az elnevezés használata előtti pentominó-probléma 1907-ben jelent meg Henry Ernest Dudeney angol matematikus és feladványszerző tollából.

Illusztráció Gál Péter: Ördöglakatok, pentominók és társaik című könyvéből.Illusztráció: Gál Péter

Pentominóból 18 féle van; a fenti 12, amiket az ábécé betűivel szokás jelölni, továbbá az Y, Z, F, L, P és N elemeknek a tükörképei. Mivel azonban ezekkel az elemekkel többnyire kirakós feladványokat szokás játszani, amiben az elemeket az asztalról fel lehet emelni és átfordítani, ezért ezeket nem szokás megkülönböztetni tükörképeiktől, annak ellenére, hogy a síkban mozgatva nem egymásba forgathatók.

Pentominókkal kapcsolatos fejtörő feladványok és érdekes matematikia kérdések megszámlálhatatlan mennyiségben léteznek. Magyarul a legátfogóbb írott anyag a témában minden bizonnyal Gál Péter: Ördöglakatok, pentominók és társaik című könyve, ami külön fejezetet szentel a témának. A könyvben rengeteg pentominó-feladvány található, amikből kedvcsinálónak álljon itt egy érdekes sorozat. A 12 elemű pentominókészlettel kell kirakni egy 5×13-as téglalapot, amiből az egyik pentominóelem hiányzik, lásd a jobb oldali ábrasort alább.

Illusztráció: Gál Péter

Ha az ember ilyen típusú kirakós feladványokat játszik, praktikusabb, ha nem négyzetrácsos papíron, ceruzával próbálkozik, hanem elkészíti az elemeket, és azokat rakosgatja. A legegyszerűbb kis kockákból összerakni az elemeket, ebben az esetben viszont már a pentominók térbeli általánosításait, az úgynevezett pentakockákat is elkészíthetjük. A pentakockák speciális esetei a kockákból összerakott pentominók, van azonban 17 pentakocka, amik nem egyrétegűek, ezek láthatók az alábbi ábrán.

Illusztráció Gál Péter: Ördöglakatok, pentominók és társaik című könyvéből.Illusztráció: Gál Péter

Ezek között az elemek között vannak olyanok, amik egybevágóak egymással, de nem forgathatók egymásba semmilyen térbeli forgatással. Például az n-el és o-val jelölt pentakockák egymás tükörképei. A hosszú bevezető után pedig már nem nehéz kitalálni, hogy milyen további általánosítás lesz az e heti feladvány tárgya.

49. feladvány: 4D pentakockák

Öt darab négydimenziós egységkockából hány különböző, úgynevezett négydimenziós pentakocka építhető? Az építőegységek mindegyikének érintkeznie kell másik építőkockával, mégpedig teljes oldalak mentén. Egy négydimenziós kockának nyolc oldala van, és minden oldala háromdimenziós kocka. Két négydimenziós pentakockát különbözőnek tekintünk, ha nem forgathatók egymásba semmilyen négydimenziós forgatással.

Nehézségi szint:

A megfejtéseket az eszventura@qubit.hu címre várjuk. A legértékesebb megoldást küldő versenyzők felkerülnek az Ész Ventura dicsőségfalára, közöttük és minden jó megoldást beküldő versenyző között év végén nyereményeket sorsolunk ki. Az e-mail subject mezőjében kérjük sorszámmal jelezni, hogy melyik feladvány megoldásáról van szó. Beküldési határidő: április 10. éjfél.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus és bűvész.

A várható környezeti katasztrófa miatt megkezdték a Föld kincseinek archiválását

A Föld összes kulturális és ökológiai kincsét 3D-s térképre vinné kutatók egy csoportja – különös tekintettel a kincsek közeljövőben várható pusztulására. A LIDAR-os adatfelvételt azokon a területeken kezdik, amelyek a leginkább ki vannak téve a klímaváltozás hatásainak. Az ötletgazda szerint irtózatos mennyiségű munkáról van szó, amelynek eredményét leghamarabb a gyerekeik unokái élvezhetik majd.

Magyarok korszakalkotó találmánya a transzformátor, amiért Edison nem akart fizetni

A transzformátor három magyar feltaláló szabadalma, magát a szót is ők találták ki abban a korszakban, amikor a magyar mérnöki tudás a műszaki fejlődés élvonalához tartozott. Edison cégének kezdetben a Ganz szállította a technológiát, de úgy kellett kiperelni tőle a szabadalmi járulékot. Hogyan forradalmasította a transzformátor az elektromos áram felhasználását?

Miért bukik el újra és újra az Alzheimer-kór elleni harc?

2050-re 100 millióan lesznek a világon, akik Alzheimer-kór okozta demenciában szenvednek, mégis siralmas a betegséget célzó gyógyszerkísérletek statisztikája,. A kudarcban közrejátszhat, hogy a kór szakemberek szerint már évtizedekkel azelőtt elkezdődhet, hogy megjelennének az első tünetek. Azért léteznek biztató új kutatási irányok.