Mennyi végtelenszer kettő osztva hárommal?
Közismert, hogy Chuck Norris bármire képes. Chuck Norris narancslevet tud facsarni a citromból. Chuck Norris le tud ülni egy rondella sarkába. Chuck Norris ismeri a pí utolsó tizedesjegyét. Csupa képtelenség, de mi a helyzet azzal a viccel, ami szerint Chuck Norris elszámol a végtelenig – kétszer? Vagy, ha már itt tartunk, meg lehet-e szorozni a végtelent kettővel, és ha igen, van-e bármi értelme?
A végtelen nem egy szám, hanem egy jelző
Bár több matematikus is próbált lebeszélni arról, hogy épp a végtelent próbáljuk megfejteni, ettől azonban csak még inkább tudni szerettük volna a választ, végtére is mi lehet a végtelenben annyira exkluzív, hogy földi halandó, vagyis bárki, aki nem matematikus, jobb ha szóba se hozza?
„A végtelen több jelentésű szó, és nem önmagában álló jelző, hanem jelzők jelzője: végtelen nagy, végtelen kicsi, végtelen távoli, végtelen sok, satöbbi. Nem túlzás azt állítani, hogy a matematika meghatározó nagy területei a végtelen különböző jelentéseire épülnek. Végtelen kicsi megváltozás: analízis. Hatáárérték, deriválás, integrálás, Newtontól és Leibniztől eredeztetve, de már az ókori Zénon paradoxonjai is ezt feszegetik. Ennek újkori irányzatai vezettek el például a fraktálok geometriájához. Végtelen távoli: projektív geometria, a perspektíva matematikai társa, a modern geometria egyik alapja. De Bolyai János geometriája is ide sorolható. Végtelen sok: halmazelmélet. Cantor híres végtelen számosságai, a megszámlalhatóan végtelen, a kontinuum, és a többi végtelennél is végtelenebb sok végtelen, és a velük végzett műveletek. A halmazelmélet voltaképpen ezzel indult, amit Cantor nem is matematikai, hanem teológiai elméletnek szánt. Végtelen dimenziós terek: azt gondolná az ember, hogy na ne, ilyen aztán tényleg nincsen, vagy ha igen, akkor semmi köze a valósághoz. Pedig a zenei hangokat voltaképpen egy végtelen dimenziós tér pontjainak lehet – és célszerű – tekinteni. Erről van szó A számok rejtett építőkövei című új könyvemben is.”
– mondja Pintér Gergő matematikus, a Budapesti Műszaki Egyetem kutatója, aki ismeretterjesztő könyveket ír és népszerűsítő előadásokat tart egyebek mellett a végtelen fogalmáról és annak a matematika és a fizika különböző ágaiban való megjelenéséről.
A végtelent már az ókorban is több értelemben vizsgálták. A Pintér által említett Zénón például azt vetette fel, hogy a mozgás csak egy illúzió, mert egy kilőtt nyílvessző bármelyik kimerevített időpillanatban áll a levegőben, és mivel ez a következő időpillanatra és minden további időpillanatra is igaz, voltaképpen nem is mozog. A modern matematikában a differenciálszámítás és a határértékszámítás segítségével persze könnyedén túlléptek Zénón paradoxonán. A végtelennek a közelre és a távolra vonatkoztatott értelmével határértékeket lehet számolni, ami Pintér szerint a közgazdaságtanban nagyon is gyakorlati problémák eldöntésére szolgálhat. Mert miközben például cipőt vagy autót csak egyesével lehet gyártani, a megtérülési számításoknál mégis végtelen pici vagy végtelen nagy mennyiségekkel, folytonossággal kalkulálják ki, hogy mely ponton éri meg a leginkább a mennyiségi határokat meghúzni.
A végtelennel nemcsak hogy lehet, de szoktak is műveleteket végezni. Sőt, a 19. és a 20. század fordulóján, amikor a matematika a fizika tudományában lezajlott, a kvantumfizikát életre hívó paradigmaváltáshoz hasonló folyamaton ment keresztül, épp a végtelennel, sőt, a különféle végtelenekkel végzett műveletek, valamint ezek ellentmondásai ágyaztak meg az „új” matematikának.
A végtelen, aminek a részei is ugyanazok a végtelenek
„Azt, hogy a számok fele páros, a másik fele páratlan, és ezekből pont ugyanannyi van, még könnyen be lehet fogadni. Egy fokkal nehezebb, hogy a páros és a páratlan számokból épp ugyanannyi van, mint amennyi egész szám létezik. Mind végtelenül sokan vannak, és ez ugyanaz a végtelen” – mondja Kegyes Tamás matematikus, adattudós doktorandusz. A halmazelmélet atyja, Georg Cantor német matematikus mutatott rá arra, hogyan lehet a legkönnyebben elképzelni, hogy miközben a természetes számok részhalmazai, a páros vagy a páratlan számok épp ugyanannyi elemből állnak, mint maguk maguk a természetes számok: esetükben a végtelen pont ugyanannyi. Cantor a 19. század végén úgy „számolta meg” a végtelent – Chuck Norristól eltérően nem csak kétszer, hanem többször is –, hogy a számok különféle halmazait összepárosította a természetes számokkal. Így például minden természetes számhoz az adott szám kétszeresét párosította hozzá, és könnyen beláthatónak ítélte, hogy mivel egyik sorozatot sem tudja soha abbahagyni, és soha nem találhat olyan számot, aminek ne lenne párja, páros számból épp ugyanannyinak kell lennie, mint természetes számból. Mindez a számok sok más részhalmazáról is elmondható, például a negatív egész számokról, a törtekről, a négyzetszámokról, prímszámokról és így tovább, valamilyen szabály szerint ugyanis párosítani lehet őket a természetes (pozitív egész) számokkal. Cantor ezt a végtelent kissé megtévesztő módon, minden megszámlálhatatlansága ellenére megszámlálható végtelennek nevezte el. Ennek a végtelennek a matematikai neve alef-null.
A legkisebb végtelennel, vagyis az alef-nullal éppúgy lehet matematikai műveleteket végezni, mint annak akármilyen kicsi részhalmazával, például a természetes számok 1-től 10-ig tartó sorozatával. A különbség az, hogy miközben 1x1 eggyel egyenlő, 1+1 viszont már 2-vel, az alef-nullal végzett műveletek többségének eredménye ugyancsak alef-null, bár a hatványozásnál már bonyolódnak a dolgok.
Mindezt a legszemléletesebb módon talán David Hilbert német matematikus magyarázta Grand Hotel paradoxonjával az 1920-as években. Hilbert hotelében végtelen számú szobát ad ki egy végtelenül találékony szállodaigazgató, aki annyira ügyesen menedzseli a hotelt, hogy minden szobában lakik valaki. A szállodaigazgató mégsem jön zavarba, amikor jön egy új vendég: a szobákban lakó összes vendéget egyszerűen az eggyel magasabb számú szobába költözteti, az új jövevényt pedig az 1-es számú szobában helyezi el. Ha egyszerre 20-an jönnek, a korábbi szállóvendégeket egyesével a 20-szal magasabb számú szobába költözteti, az újakat pedig az első húszba és így tovább.
Az első komolyabb problémával akkor szembesül, amikor végtelen számú új vendég érkezik egyszerre. De a szállodaigazgató erre is tud megoldást: minden vendéget abba a szobába költöztet, amelynek a száma megegyezik az aktuális szobája számának a kétszeresével. Így szabadítja fel az összes páratlan számú szobát, amelyeket kiad az új vendégeknek. Vagyis megszorozta a végtelent kettővel, és még mindig ugyanabban a végtelen hotelben lakhat az összes vendég. Mivel a végtelent nemcsak kettővel, hanem más véges egész számokkal megszorozva is ugyanazt a végtelent kapja, a szállodaigazgató akár többször végtelen számú új vendéget is el tud helyezni Hilbert különleges Grand Hotelében. Ehhez nem kell mást tennie, mint Euklidész bizonyítását alapul véve minden meglévő vendéget átköltöztetni abba a szobába, amelynek száma megfelel az első prímszám, vagyis a 2 azon hatványának, amely a jelenlegi szobaszáma: az 1-es szobában lévő vendég a 2-es szobába költözik, a 2-esben lévő a 4-esbe, a 4-esben lévő a 16-osba, a 16-osban lévő a 65 536-os számú szobába és így tovább. Ezután az első végtelen számú új vendéget szállító busz utasait elhelyezi azokban a szobákban, amelyek száma megegyezik a következő prím, vagyis a 3 hatványaival (3, 9, 27, stb.). A következő végtelen számú utast szállító busz utasai a következő prím szám, az 5 hatványainak megfelelő szobaszámot kapják, a következőé a 7 hatványait viselő számú szobában alhatnak, és így tovább.
A végtelennél is nagyobb végtelen
A végtelennel való számolgatás igazi nagy ugrása viszont még csak ezután kezdődik. Kiderült ugyanis, hogy létezik olyan végtelen, ami még a Cantor-féle végtelen számosságnál vagy megszámlálható végtelennél is nagyobb – hívja fel a figyelmet Pintér és Kegyes egyaránt. Ennek a végtelennek a lényege a számok közé eső intervallumokban keresendő: a 0 és 1, 1 és 2, 2 és 3, 3 és 4 közötti számok végtelensége nagyobb, mint a természetes számok teljes végtelensége, vagyis az alef-null. Ez úgy lehetséges, hogy az egész számok hányadosaként felírható tört számok (véges tizedes törtek vagy szakaszosan végtelen tizedes törtek) mellett léteznek olyan számok, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. Az irracionális számok némelyikéről, például a √2-ről és a píről még a matematikával utoljára az iskolapadban foglalkozók is hallottak, és annak ellenére, hogy csak keveset lehet név szerint említeni belőlük, valójában elképzelhetetlenül sokan vannak. Erről az általunk kérdezett matematikusok azt mondták, hogy nulla és egy között több szám van, mint a pozitív egész számok teljes végtelenje, és a legtöbbre még utalni sem tudunk, hiszen nemcsak neve nincsen, de még olyan matematikai formula sincs, amivel le lehetne írni, amivel ki lehetne fejezni. A nagyobb végtelen összességének viszont van neve, kontinuumvégtelennek hívják.
A sík pontjainak vagy egy egyenes pontjainak a száma megegyezik és egyúttal azonos a kontinuumvégtelennel, mint ahogy egy akármekkora kör pontjainak a száma is tökéletesen megegyezik egymással, akkor is, ha a szóban forgó körök átmérőinek a hossza a töredéke egymásnak. A megszámlálható végtelennél nagyobb végtelenek okozzák, teszi hozzá Pintér, hogy vannak olyan problémák, amelyeket nem lehet algoritmusokkal leírni, mert – mint arról Lovász László volt MTA-elnök egy egyetemi oktatójegyzetében írt – eldöntendő dolgokból kontinuumsok van, míg algoritmusok száma „csak” megszámlálhatóan végtelen. A kontinuumvégtelennél ráadásul korántsem ér véget a végtelenek száma: a halmazelmélet szerint a végtelenekből is végtelen sok létezik.
A gyakorlattá vált formális logika
A paradigmaváltó fordulatról a Qubitnek Pintér azt írta, hogy
„a matematikát az a hipotézis uralja, hogy az egész matematika halmazelméletben modellezhető, vagyis csak halmazok vannak és logika, másra nincsen szükség. Bár ezügyben nagyon komoly kétségek merültek fel már nagyon korán, például a Gödel nemteljességi tételek, e hipotézis félig kimondottan ma is tartja magát, és nagyon kevesen foglalkoznak vele érdemben, hogy mennyire jogos ezt gondolni. A kérdés viszont korántsem elméleti. A 20. század technológiai forradalma, a digitalizáció és az informatika végső soron a formális logika gyakorlati alkalmazása, és jelenleg az egész világot az a hipotézis uralja, hogy a valóság, az emberi működés szimulálható a gépek nyelvén. Az élő jelenlét pótolható onlájn összeköttetéssel, az emberi gondolkodás mesterséges intelligenciával, satöbbi. Attól függetlenül, hogy egyetértünk-e ezekkel a világszintű törekvésekkel, lelkesítőnek vagy inkább aggasztónak találjuk, egy dolog mindenképpen aggasztó: nem foglalkozunk érdemben ezzel a kérdéssel. A technológiai fejlődést nem kíséri ennek az emberiség létét meghatározó kérdésnek a párhuzamos megértése, pedig ez alapvetően szükséges lenne ahhoz, hogy az új technológiákat megfelelően tudjuk használni, segítse az életünket, és ne leuralja, végső soron elvegye azt. A matekra visszatérve; a halmazelméleti alapra helyezett matematika, amit már általános iskola óta tanítanak, végülis csak egy modellje a matematikának, egy szimulációja önmagán belül, »lapraszerelt matematika«. Nyilván ezek az állításaim nem matematikai állítások, hanem a privát véleményem, ami részben Surányi László tanításai hatására fogalmazódott meg bennem. Ő kicsit tovább is megy, közvetlen hasonlóságot lát a koncentrációs táborok barakkjai és a halmazelméleti alapú, a forma által vezérelt de tartalmilag kiüresedett matematika között”.
Ha ezek után bárki úgy érezné, hogy egy cikknyi terjedelemben lehetetlen az áltudományosság kísértése nélkül írni és olvasni a végtelenről, feltétlenül szerezze be (vagy csak olvassa el az Országos Széchényi Könyvtár digitális archívumában) Péter Rózsa elsőként 1944-ben megjelent, azóta tucatnyi új kiadást megért és ugyancsak tucatnyi nyelvre lefordított Játék a végtelennel című ismeretterjesztő könyvét, amelyet a matematikus eleve kívülállóknak ajánlott, már csak azért is, mert a kötet alapjául a Benedek Marcell irodalomtörténésszel folytatott levelezése szolgált. Igaz, azért a kötet bevezető fejezetében maga Péter is megjegyzi, hogy „felületesen nem lehet matematikát olvasni, a kényszerű absztrakció mindig bizonyos önkínzással jár, és matematikus az, akinek ez az önkínzás örömet okoz. Még a legjobb népszerű könyvet is csak azok fogják követni tudni, akik egy bizonyos fokig vállalják ezt. Én nem ezek számára írok most (...), de egy könnyítést nem ígérhetek: egy-egy fejezetet olvasatlanul átlapozni, későbbre halasztani, vagy csak felületesen futni át: nem szabad. Matematikát csak téglánként lehet felépíteni: itt egyetlen szó sem felesleges, minden következő részlet az előzőre épít (...). A kevés utasítást is követni kell: igazán ránézni az ábrára, valóban próbálgatni egy egyszerű rajzot vagy számolást, ha itt-ott erre kérem az olvasót. Viszont engesztelésül megígérem, hogy nem lesz unalmas. Az iskolás matematikából semmit sem fogok felhasználni.”
Kapcsolódó cikkek a Qubiten: