Miért jobb Moszkvába utazni, mint Párizsba?

Gondoltad volna, hogy ha repülőre szállsz, a súlyod akár egy kilóval is könnyebb lesz? Pedig a fizika ezt állítja!

Ha elutazunk valahová, súlyunk eltér a megszokottól a fizika törvényei miatt - még akkor is, ha eltekintünk az élet szokásos jelenségeitől (anyagcsere, párolgás). A súly ugyanis a tömegre ható erő, amelyik más és más a Föld különböző zónáiban, és változik a magassággal is. Ennek okait érdemes végiggondolni.

Mi a különbség a súly és tömeg között?

Mindenekelőtt különbséget kell tenni a tömeg és súly között. A súly az az erő, ami itt a Földön a testek tömegére hat. Ez alapvetően a Föld gravitációs vonzásától származik, de ezen kívül figyelembe kell venni a Nap és a Hold hatását, valamint a Föld keringése és forgása miatt kialakuló erőhatásokat is. Amikor súlymérésről beszélünk, ne kétkarú mérlegre gondoljunk, hiszen ekkor a méréshez használt súlykészlet elemei azonosan változnak a mérendő súllyal, hanem rugós mérlegre. Ha ennek pontossága elég jó, akkor magunk is láthatjuk súlyunk változását a Föld különböző régióiban.

A Newton-féle gravitációs törvény

A gravitációs törvény szerint az egymástól R távolságban lévő m és M tömegek között ható vonzóerő:

ahol γ = 6,674·10-11m3kg-1s-2 az általános gravitációs állandó.

A Nap, Hold és a Föld gravitációs viszonya

Vizsgáljuk meg a különböző erők nagyságrendjét a Föld, a Nap és a Hold tömege és az átlagos keringési sugarak alapján, a Föld esetén viszont a bolygó sugarát vegyük alapul!

RF a Föld sugara, RNF a Föld keringési sugara a Nap körül, RHF a Hold keringési sugara a Föld körül

A Föld felszínén a súlyt a g nehézségi gyorsulással jellemezhetjük:

Ezt visszavezethetjük a gravitációs törvényre, ha gondolatban a Föld egész tömegét a középpontba helyezzük, és a Föld sugarát helyettesítjük az összefüggésbe:

Az innen számolt nehézségi gyorsulás g = 9,844 m/s2, jó közelítésben egyezik a földön mérhető középértékkel. A g nehézségi gyorsulás ugyanis a földrajzi helyzettől és a felszíni magasságtól is függ. Az előbbi oka, hogy a Föld forgásának kerületi sebessége a délkörök mentén más és más.

Az árapály jelensége

Jól ismert az árapály jelensége a tengerek és óceánok partvidékén, amit a Nap és a Hold helyzetének változása hoz létre a Föld forgása miatt. Vizsgáljuk meg, hogy a Nap és a Hold mekkora erővel hat a földi testekre. Ennek összehasonlítására szolgál a táblázat utolsó oszlopa, amelyben a Földhöz viszonyítjuk az adatokat. Látható, hogy a Nap vonzóereje jóval nagyobb, még pedig 178-szorosa a Holdénak, de még ez is jóval gyengébb, mint a Föld gravitációs ereje. Egy 100 kilogrammos ember esetén ez 60 gramm súllyal egyenértékű. Felületesen azt gondolhatnánk, hogy délben ez a vonzás levonódik a földi gravitációból (ekkor a Nap vonzása fölfelé mutat), és így könnyebbek leszünk, éjfélkor pedig (ekkor a Nap vonzása lefelé mutat) nehezebbek. Valójában azonban a Nap körüli keringés során a centrifugális erő kiegyenlíti a Nap vonzó hatását, és ez érvényes a Föld minden egyes részére, így testünkre is vonatkozik, ezért súlyunk nem változik a napszakok függvényében.

Fölvetődik a kérdés: ha a Nap vonzóereje sokkal nagyobb, akkor miért a Hold árapályhatása lesz 2-3-szor jelentősebb a Naphoz képest? Az árapályról szóló cikkekben (például a Wikipedián) erre nem kapunk pontos magyarázatot, csak annyit említenek meg, hogy a Hold kisebb távolsága az ok.

A rézsút felfelé mutató nyíl mutatja az égitest gravitációs vonzását, a vízszintes nyíl pedig ennek part felé mutató vetületétIllusztráció: Tóth Róbert Jónás

Képzeljük most magunkat a tenger partjára, amikor vagy a Hold, vagy a Nap épp a fejünk felett van. Milyen erőhatást gyakorol az égitest arra a víztömegre, amelyik tőlünk x távolságra van? Az ott ható erő nem lesz függőleges, hanem lesz egy a part felé mutató komponens is. A függőleges komponenst a centrifugális erő a már említett okból kiegyenlíti, de ez nem vonatkozik a vízszintes komponensre, amely emiatt a tenger vizét a part felé fogja húzni. Apály esetén megfordul a helyzet, ekkor a part közeléből fogja a Nap vagy Hold vonzóerejének vízszintes komponense a vizet a tenger belseje felé sodorni. Ez a vízszintes komponens a parttól való x távolság és az égitest R távolságának hányadosával lesz arányos, és evvel a hányadossal kell szorozni az égitest gravitációs vonzóerejét. Mivel a Hold 390-szer közelebb van hozzánk, mint a Nap, így a part felé húzó erő számításánál ezt is figyelembe kell venni, ami így a Hold esetén 2,2-szer nagyobb lesz, mint amit a Nap hoz létre.

Súlyveszteség a repülőgépen

Szálljunk most fel egy repülőre és utazzunk el valahová! A fel- és leszálláskori gyorsulást és lassulást ne vegyük figyelembe, csak a magasságot és az útirányt. Ha 10 km magasan repülünk, akkor a Föld középpontjától mért távolságunk 6381 kilométer lesz, a négyzetes szabályt alkalmazva ez 100 kilós embernél 314 gramm súlycsökkenést fog okozni. Megérkezéskor is más lesz a súlyunk, attól függően, hogy északra vagy délre utaztunk. A tengerszint feletti magasságtól is függ súlyunk, így La Pazban 4000 méter magasan már számottevő a csökkenés, de most számoljunk tengerszinti magassággal, és vizsgáljuk meg a délkörtől való függést. Ennek oka a Föld forgása miatt fellépő centrifugális erő, amelynek értéke függ a délkör szögétől a földfelszín kerületi sebességének eltérése miatt.

Súlyveszteség az Egyenlítőnél

Az egyenlítőnél a legnagyobb a centrifugális erő, ahol a Föld 40 000 km kerülete 24 óra alatt fut körbe, ezért ott a kerületi sebesség v = 1667 km/h = 463 m/s. Evvel számolva a 100 kg súlyú ember súlya 337 grammal lesz kevesebb. Szálljunk fel ott egy repülőre, és haladjunk kelet felé! Ha a gép sebessége a földhöz képest 1000 km/h, akkor ez az érték hozzáadódik a Föld forgási sebességhez, ami így v = 2667 km/h = 741 m/s lesz, az ehhez tartozó centrifugális erő súly egyenértéke már 862 grammnak felel meg, utasunk súlycsökkenése ekkor már a magassággal csökkenő gravitációval együtt meghaladja az 1 kilogrammot. Ha viszont a repülő nyugat felé veszi az irányt, akkor az eredő sebesség 667 km/h = 185 m/s lesz és a centrifugális erő súly egyenértéke csak 54 grammnak felel meg. Ennek gyakorlati jelentősége is van, mert amikor az egyenlítő közelében kelet felé bocsátjuk fel az űrrakétát, akkor számottevő energiát takaríthatunk meg. Ezt használja ki a Francia Guyanában telepített űrközpont is.

Súlyveszteség Budapesten

A centrifugális erő iránya és nagysága a délkör szélességi szögétől függőenIllusztráció: Tóth Róbert Jónás

De mi a helyzet itt nálunk Budapesten? A kerületi sebesség itt kisebb, mert a körforgás sugarát a forgástengelytől kell számítani, ami a délkör pozíciójától függ. A délkör szögét alfával jelölve ez a sugár Rcosα lesz. A kerületi sebesség is ennek mértékében változik, ezért a v2/R-el arányos centrifugális erő az egyenlítőnél mért értékhez képest szintén cosα mértékében csökken. A centrifugális erő ráadásul nem is függőleges, eltérően a gravitációs erőtől, hanem α szöget zár be vele, ezért a gravitációs erővel való összegzésnél a centrifugális erő függőleges irányú vetületét kell figyelembe venni, vagyis még egyszer szorozni kell a cosα tényezővel. Emiatt lesz az erő járuléka cos2α mértékében kisebb az egyenlítőnél számolt értékhez képest. Budapest a 470 délkörön fekszik, ezért a csökkenés aránya 0,465 lesz, ennek megfelelően a 100 kilós emberünk súlya 157 grammal lesz kevesebb. A centrifugális erő másik hatása, hogy a súly iránya nem lesz pontosan függőleges. A centrifugális erő vízszintes vetületét sinα  határozza meg, ezért az egyenlítői centrifugális erőt a sinα·cosα = ½sin2α  faktorral kell szorozni. Ez déli irányú kitérést hoz létre, amelynek szöge épp Budapest környékén a legnagyobb, és értéke 0,180 fok lesz. Emiatt nálunk a függőleges irány nem is tökéletesen merőleges a felszínre.

Súlyveszteség Budapestről elrepülve

Szálljunk fel most egy repülőre Moszkva felé! Budapest magasságában a földforgás kerületi sebessége 1137 km/h; ehhez hozzávéve a gép 1000 km/h sebességét, a járat teljes sebessége 2137 km/h = 594 m/s lesz. Vegyük még figyelembe, hogy ezen a délkörön forgási sugár: 4344 km. Mindezt számításba véve a 100 kilós emberünkre ható centrifugális erő 812 grammnak felel meg, viszont ennek iránya nem esik egybe a gravitációs erővel. Meghatározva ennek függőleges vetületét a súlyveszteségre 546 grammot kapunk, de adjuk ehhez hozzá a 10 km magasságban bekövetkező gravitációs csökkenést. A teljes súlyveszteség együttesen 858 gramm lesz, tehát közel egy kilóval leszünk könnyebbek. Nyugati irányba – mondjuk Párizs felé – már nem érdemes utazni, ha súlycsökkenésben reménykedünk, mert ekkor a teljes sebesség csak 137 km/h lesz, amelyhez már nagyon kis súlycsökkenés tartozik.

A szerző fizikus, a BME és az ELTE címzetes egyetemi tanára.