Ész Ventura: Pólót tudsz cserélni valakivel úgy, hogy nem engeditek el egymás kezét?

A topológia a matematika egy olyan részterülete, amely az alakzatok folytonos transzformációk során megmaradó tulajdonságaival, úgynevezett topológikus invariánsokkal foglalkozik. Ilyen folytonos deformációk körébe tartozik például a kicsinyítés, nagyítás, az alakzat tetszőleges részének nyújtása, csavarása, viszont nem megengedett az alakzatot kilyukasztani, elszakítani, vagy távoli pontjait összeragasztani, stb. 

Legszemléletesebb az, ha úgy képzeljük, hogy az alakzat gumiból vagy gyurmából van, és tetszőlegesen deformálhatjuk úgy, hogy a közeli pontok (gumi- vagy gyurmarészecskék) mindvégig közeli pontok maradjanak.

Ha két alakzat áttranszformálható egymásba ilyen módon, akkor topológikusan ekvivalensnek tekinti őket egy topológus. Klasszikus szemléltető példa, hogy egy füles bögre és egy középen lyukas fánk ugyanaz a topológiai alakzat, mert mindkettőn pontosan egy lyuk van. A lyukak száma tehát egy invariáns tulajdonság, folytonos deformációk során nem keletkezhet új lyuk és nem is tűnhet el. De ha két alakzat (vagy alakzategyüttes, mint alább a kék és piros karikák együttvéve) lyukainak száma megegyező, abból még nem következik, hogy topológikusan ekvivalensek, például nem mindegy, hogy a lyukak ill. hurkok különállóak, vagy egymásba kapcsolódnak úgy, hogy nem lehet őket kibogozni. Ezzel foglalkozik a topológián belül a csomóelmélet. 

Mindezek után nézzük, hogy milyen játékokat játszanak a topológusok társaságban.

20. feladvány: Polócsere

Egy topológus lány és egy topológus fiú szemben állnak egymással, és fogják egymás kezeit: jobb kéz a bal kezet és fordítva. Ki tudják-e fordítani a rajtuk lévő polókat úgy, hogy közben nem engedik el egymás kezét? És pólót is tudnak cserélni? Tegyük fel, hogy a polók tetszőlegesen nyújthatók, de nem szabad őket elszakítani. 

Haladóknak: és mi a helyzet akkor, ha megtiltjuk, hogy az egyikük a lábát elemelje a talajtól? Megjegyzés: az ábra csak illusztráció, mindkét kézzel fogják egymást!

Illusztráció: Gáspár Merse Előd

Felajánlott koponyák

A megfejtéseket az eszventura@qubit.hu címre várjuk. A megoldáshoz kérünk részletes indoklást mellékelni ábrával együtt! A legelső megoldók és a legjobb versenyzők felkerülnek az Ész Ventura dicsőségfalára, aki nem kíván ott szerepelni, kérjük, jelezze. Szerepelni álnévvel is lehet, ezért mindenképpen érdemes az év végén kisorsolt nyeremények miatt. Leveleiket kérjük, ékezetesen írják alá. Az e-mail subject mezőjében kérjük feltüntetni, hogy 'megoldás', illetve sorszámmal jelezni, hogy melyik feladványról van szó. Beküldési határidő: május 20. éjfél.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, bűvész