Ész Ventura: Nem is volt annyira boszorkányos ez a feladat!

Az előző feladvány becsapós volt! Annak ellenére, hogy milyen bonyolultnak tűnt, amire próbáltam a címmel és a felajánlott koponyák számával is rájátszani, a megoldás valójában roppant egyszerű. A bonyolultságot sugalló megfogalmazás azonban megtette a hatását, és sokan adtak fölöslegesen bonyolult megoldást. Ez azonban nekik még hasznukra is lehet, mert lehet, hogy a megoldásuk a feladvány folytatására is megfelelő válasz lesz, és akkor ezen a héten már nem lesz dolguk. No de nézzük ezt a triviális megoldást.

Az volt a kérdés, milyen stratégiát beszéljenek meg a törpök, hogy akit más emlékeivel ébreszt a boszorkány, rá tudjon jönni, hogy ő az, aki nem jól emlékszik. Az egyik jelentős különbség a bolondgombát evett törp és a másik hat között, hogy előbbit sokkal gyakrabban ébreszti a boszorkány, hiszen minden második alkalommal ő kel fel. Ezt próbálták meg sokan kihasználni, azonban fölösleges a fölébresztések számával bajlódni, mert az is elegendő különbség, hogy a felébresztések sorrendjében eltérő paritású pozíciót foglalnak el, azaz ez egyik mindig páros, a másik mindig páratlan órában ébred. Hogy melyik melyik, azt nem tudják előre, de a bolondgombát fogyasztó törp mindig a másik emlékével ébred, azaz elegendő, ha észreveszi a paritáskülönbséget az aktuális cetli alapján meghatározható helyzete és az emlékei között, vagyis elegendő, ha a cetliken úgymond az időparitást tudják kódolni.

Na ez az érvelés megint egy kicsit bonyolultra sikerült, de az érvelésre nincs is szükség ahhoz, hogy valaki rájöjjön az alábbi nagyon egyszerű stratégiára. A lényeg csupán annyi, hogy aki páros számot lát, az páratlant ír a cetlire, aki páratlant lát, az párosat ír a cetlire, akár egyeseket és ketteseket felváltva, tehát két számmal is megoldható a feladat. A nem begombázott törpök, ha felkelnek és páros cetlit látnak, akkor csak arra emlékezhetnek, hogy korábban is páros cetliket láttak fölébredéskor, ha meg páratlant látnak, akkor páratlanra emlékezhetnek. A begombázottnál viszont csak fordítva lehet: ha párosat lát fölébredéskor, akkor korábbról csak páratlanra emlékezhet, vagy fordítva, ha páratlant lát, akkor korábbról párosra emlékezhet, tehát az eltérésből mindkét esetben tudhatja, hogy ő evett bolondgombát, csak meg kell várni az első felébredést, amikor már lesz emléke.

Egy apróság azért még van. Elvileg előfordulhatna, hogy sose ébred úgy, hogy emlékszik valamire, és akkor nem működik a stratégia. Ez akkor állhat elő, ha mindig egy olyan törp emlékeivel ébred, aki még soha nem kelt fel, azaz soha nem dobták ki a sorszámát. Ennek természetesen végtelen hosszú idő alatt zéró az esélye, ugyanakkor nem lehetetlen, hiszen lehetetlen az, ami nem állhat semmilyen módon elő. 

A valószínűség-számítás elméletében a matematikusok is meg szokták különböztetni a zérus valószínűségű eseményt a lehetetlen eseménytől. Minden lehetetlen esemény zérus valószínűségű, de nem minden zérus valószínűségű esemény lehetetlen. Ha a lehetséges kimenetek száma véges, akkor persze a kettő megegyezik, de amikor végtelen sokféle kimenet lehetséges, mint például jelen esetben, amikor elvileg végtelen sok kockadobásra is sor kerülhet, akkor a megkülönböztetésnek helye van. Matematikusok az ilyen zérus valószínűségű események be nem következésére nem azt mondják, hogy biztos, hanem azt a kifejezést használják rá, hogy majdnem biztos. Precízen véve tehát azt mondhatjuk, hogy a törpök stratégiája majdnem biztosan beválik.

Ráadásul a fenti probléma nem csak a vázolt stratégia esetén áll fenn, hanem minden más stratégia esetén is. Ez könnyen belátható. Tegyük fel, hogy a boszorkány minden páros órában egyest dob, páratlan órában viszont sosem dob egyest. Ekkor a mérgezett törp mindig úgy emlékszik, hogy ez az első alkalom, hogy felébredt, és a papíron elvileg tetszőleges, a boszorkány által választott szám is állhat, ez alapján azonban nem tudja eldönteni, hogy begombázott-e.

Láttuk, hogy alapvetően azért volt egyszerű a megoldás, mert a bolondgombát evett törp szabályos időközönként ébredt, minden második alkalommal. Most, hogy már egy kicsit ráhangolódtunk a törpökre, nehezítünk a feladványon, és egyúttal megpróbáljuk kizárni a zérus valószínűségű események problémáját is.

24. feladvány: Törpök másodszor

A feladvány ugyanaz, mint korábban, csak pár apró módosítást teszünk. Az alábbi variációk bármelyikére küldött helyes megoldással a koponyákat el lehet nyerni. De most biztos és nem csak majdnem biztos stratégiákat keresünk!

  1. A törpök ugyanolyan gyakorisággal ébrednek, minden nap egy törp, de minden héten mind a hét törp felébred, csak a sorrend véletlenszerű. Minden héten más a sorrend!
  2. A törpök óránként ébrednek véletlenszerűen, de garantálva van, hogy minden törp minden nap legalább egyszer felébred.
  3. A boszorkány választ egy olyan irracionális számot, melynek hetes számrendszerben felírt jegyei között minden jegy végtelen sokszor előfordul, és ennek egymás utáni jegyei szerint ébresztgeti a törpöket. A számot a törpök nem ismerik!

Ui.: ha pedig valakinek olyan általánosítási ötlete van, amely a fentiektől lényegesen különbözik, és a rá adható megoldás is, azt is szívesen fogadom különdíjért!

Felajánlott koponyák:

A megfejtéseket az eszventura@qubit.hu címre várjuk. A megoldáshoz kérünk részletes magyarázatot mellékelni! A legelső megoldók és a legjobb versenyzők felkerülnek az Ész Ventura dicsőségfalára, aki nem kíván ott szerepelni, kérjük, jelezze. Szerepelni álnévvel is lehet, ezért mindenképpen érdemes az év végén kisorsolt nyeremények miatt. Leveleiket kérjük, ékezetesen írják alá. Az e-mail subject mezőjében kérjük feltüntetni, hogy 'megoldás', illetve sorszámmal jelezni, hogy melyik feladványról van szó. Beküldési határidő: július 1. éjfél.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, bűvész.