Ész Ventura: Észrevettétek, hogy milyen gyors a vízhordó nő, és milyen magas a hegy?

A feladványban, amiben egy nő felment a hegyre, és vissza is jött onnan, az volt a kérdés, hogy adott feltételek mellett megtelik-e a korsó az esőben. A válaszhoz csupán két feladatot illett volna megoldani: rájönni arra, hogy milyen irreális a történet, és arra, hogy miért is lényeges az, hogy a nő megy, pláne az, hogy hány fokos a lejtő.

Sokan nem jöttek rá, hogy számít, milyen irányban és mekkora sebességgel halad a korsó. A legszemléletesebb, ha nem a hegyhez viszonyítva nézzük a dolgokat (hiszen akkor mozog a korsó, és mozognak az esőcseppek is), hanem a korsóval együtt mozgó vonatkoztatási rendszerből szemléljük a dolgokat – vagy mondhatnánk azt is, hogy női szemmel, hiszen a nő a korsóval együtt mozog, ha valóban ügyesen egyensúlyoz.

Grafika: Tóth Róbert Jónás / qubit.hu

Legyen v az esőcseppek földhöz viszonyított sebességének vektora, u pedig a korsó földhöz viszonyított sebességét jelölő vektor. Előbbi függőlegesen lefelé mutat, és nagysága 9 m/s a feladat szerint, míg utóbbi felfelé menet srégen felfelé mutat 30 fokos dőlésszöggel, lefelé menet pedig srégen lefelé, nagysága pedig 3 m/s. Mármost a korsóhoz viszonyított rendszerben a korsó értelemszerűen áll, az esőcseppek sebessége viszont v-nek és u-nak a vektoriális különbsége lesz. A korsóhoz viszonyítva tehát az esőcseppek sebességének lesz egy vízszintes és egy függőleges komponense. A vízszintes komponens nagysága nem függ attól, hogy hegyre felfelé, vagy hegyről lefelé halad a korsó. A függőleges komponens nagysága viszont nagyobb, ha felfelé megyünk, és kisebb, ha lefelé megyünk. Nyilvánvaló, hiszen felfelé az esőcseppek elé megyünk, míg lefelé fordítva.

A nő sebességének a függőleges irányú összetevője a 30 fok miatt éppen 1,5 m/s lesz. Felfelé tehát az esőcseppek korsóhoz viszonyított sebességének függőleges komponense 10,5 m/s, míg lefelé 7,5 m/s lesz. Ha 10,5 m/s sebesség esetén 7 liter megy bele, akkor 7,5 m/s-nál 5 liter. Ezeket összeadva 12 litert kapunk, vagyis éppen megtelik a korsó. Ha otthon hagyta volna a szabad ég alatt, akkor végig 9 m/s-al esett volna bele az eső, és akkor is 12 liter esett volna bele ugyanannyi idő alatt.

Ha valakit ez nem győzött volna meg, ugyanezt az esőcseppek szemszögéből is meg lehet nézni, ahogy azt Vigh Máté megoldónk tette. Az esőcseppekkel együtt mozgó koordinátarendszerben, amiben az esőcseppek tehát állnak, a korsó szája egy ferde henger alakú tartományon söpör végig. A korsóba eső víz mennyisége arányos ennek a hengernek a térfogatával, tehát a ferde henger magasságával. Mivel felfelé és lefelé ugyanannyi ideig tart az út, a korsó szája által súrolt ferde henger magassága lefelé (9-1,5)/(9+1,5) = 5/7-szer akkora, mint a felfelé tartó út során. Ezért a lefelé úton 5/7-szer annyi víz esik a korsóba, mint felfelé, azaz 5 liter.

Most pedig térjünk rá arra, hogy milyen világ ez, amiben vagyunk. A nő 3 m/s-os sebessége, azaz 10,8 km/h, hegynek felfelé kimagasló érték, pláne korsóval a fején egyensúlyozva. Másrészt, ha a 12 literes korsó megtelik esővízzel az út során, akkor vagy nagyon hosszú az út, vagy nagyon esik. Ha a korsó száját 10 centiméter átmérőjű körnek vesszük, akkor a 12 liter esővíz kb. 1500 milliméter csapadéknak felel meg, ami Magyarország éves csapadékmennyiségének a két-háromszorosa. De ha ez a csapadékmennyiség valami csoda folytán leesne mondjuk egy nap alatt, a nőnek akkor is 100 kilométert kellene felfelé kocognia egy 50 kilométer magas hegyre, már ha lenne ilyen valahol – ahogy azt Boros Péter beküldőnk megjegyezte.