Ész Ventura: Meg tudtad mérni a szoba belsejét kívülről, az ablakon át?

Mérés hosszú vonalzóval című feladványunkban az volt a feladat, hogy megmérjük egy téglatest alakú szoba belső méreteit az ablakon keresztül kívülről úgy, hogy ehhez egy nagyon hosszú vonalzó áll a rendelkezésünkre, amely a feladat szerint végtelenül vékony merev rúdnak tekinthető, amely teljes hosszával nem fér be a szobába. Feltehetjük, hogy az ablak téglalap alakú és szélei párhuzamosak a szoba megfelelő éleivel. Az viszont, hogy a szóban forgó szoba padlója és plafonja hol húzódik, az a ház külső falán nem látszódik.

photo_camera Illusztráció: Gáspár Merse Előd

A fenti ábra a szobát belülről mutatja. Legyen az ablak két alsó sarka A és B, és a szoba egyik alsó sarka P. Ha a vonalzót nekitoljuk a szoba alsó sarkának, akkor megmérhetjük az AP és BP távolságokat, ezeket a-val és b-vel jelöltük az ábrán. Legyen y az ablak aljának padlótól számított távolsága, x2 az ablak szélessége, x1 az ablak P-hez közelebbi szélének a P-t tartalmazó oldalfaltól vett távolsága, z pedig a szoba mélysége. Ha a P pontot tekintjük egy a szoba falaihoz illesztett koordinátarendszer origójának, akkor az A pont koordinátái (x1|y|z), a B pont koordinátái pedig (x1+x2|y|z). Ezek alapján a2 = (x1)2 + y2 + z2 és b2 = (x1+x2)2 + y2 + z2. Ezeket az egyenleteket Pitagorasz-tételek segítségével is felírhatjuk, ha vesszük az A és B pontok padlóra eső vetületeit (A' és B' pontok), és tekintjük a PAA' és PBB' derékszögű háromszögeket.

Ha megnézzük a két felírt egyenletet, abban a, b, x2 mérhető távolságok, y2 + z2 viszont együtt szerepel mindkét egyenletben. Ha tehát ez utóbbitól megszabadulunk, akkor marad egy egyenletünk és csak egy ismeretlenünk: x1. Helyettesítsük tehát be az y2 + z2 = a2 - (x1)2 kifejezést a második egyenletbe, így kapjuk, hogy b2 = (x1+x2)2 + a2 - (x1)2 = a2 + (x2)2 + 2x1x2, amiből az adódik, hogy x1 = [b2 - a2 - (x2)2]/(2x2). Tehát ki tudjuk számolni az ablaknak az egyik faltól vett távolságát, de hasonlóan ki tudjuk számolni a másik faltól vett távolságot (x3) is, sőt a padlótól vagy a plafontól vett távolságokat is. Ha pedig megvannak ezek a távolságok, akkor a szoba méretei is adottak, hiszen a szélesség például x1+x2+x3.

Mindez viszont csak akkor igaz, ha a falnak nincs vastagsága, azaz nincs ablakpárkány. Ha ugyanis van ablakpárkány, akkor például a B pont esetében a vonalzónkat nem tudjuk a P és B pontokon keresztülfektetni, helyette a vonalzó az ablak belső-alsó szegélyét a C pontban, a külső-oldalsó szegélyét pedig egy D pontban fogja érinteni. Ekkor sincs azonban baj, ha a C és D pontokat valamivel, például egy ceruzavonással, meg tudjuk jelölni. Ezután megmérhetjük a CE és EB szakaszok hosszát, és mivel a CEB háromszög derékszögű, ezért a CB szakasz hossza a Pitagorasz-tétel segítségével kiszámítható. Ha most megmérjük még a CD és BD szakaszok hosszát is, így a CDB háromszög minden oldala ismert, amiből a D-nél lévő szög számítható. Ha pedig ez a szög megvan, akkor a DB és a DP szakaszok ismeretében az általunk keresett PB szakasz hossza is számítható a koszinusztétel segítségével.

photo_camera Illusztráció: Gáspár Merse Előd

Megjegyzés: A feladat vastag fal esetén trükkösebben is megoldható, ahogy arra Babics Flóra olvasónk rámutatott, ugyanis ki lehet használni az ablakkeret adottságait, és a vonalzót neki lehet fektetni az ablakkeret valamely oldalának, vagy akár az EB élre illesztve a szoba mélysége rögtön mérhető.

A legelső megoldó és a megoldásokért kiosztott banánok megtalálhatók a Dicsőségfalon!

Kapcsolódó cikk a Qubiten: