171. feladvány: Karácsonyi ajándékozás

Egy 30 fős alsós osztály minden évben karácsonyi ajándékozást tart. Az első évben minden gyerkőc felírta a nevét egy cetlire, majd a cetliket bedobták egy kalapba, jól összerázták, aztán mindenki egyszerre belenyúlt, és kihúzott egy cetlit. Ha kiderült, hogy valaki a saját nevét húzta, akkor visszadobták a cetliket, és újra próbálkoztak.

Rájöttek, hogy ez a módszer szerencsétlen esetben hosszan eltarthat, akár végtelen sokáig is, ezért a második évben javítottak a sorsolási rendszeren. Ugyanúgy mindenki bedobta a nevét a kalapba, de most egyesével húztak, egymás után. Mindenki rögtön megnézte a cetlijét, és ha magát húzta, akkor húzott egy másikat, a saját nevét tartalmazó cetlit pedig visszadobta a kalapba. Ez csak akkor nem tudott befejeződni, ha a legutolsó ember a saját nevét húzta, ekkor az egészet elölről kezdték.

A harmadik évben még jobb módszert találtak ki. A gyerekek közé bedobták az osztályfőnök nevét is, és az osztályfőnök húzott utoljára. Ha az osztályfőnök nem magát húzta, akkor mindenki mindenkit megajándékozott, az osztályfőnök is valakit, és az osztályfőnököt is egy gyerek. Ha pedig az osztályfőnök magát húzta, akkor abban az évben ő kimaradt a buliból, de a gyerekeknek nem kellett újra húzni.

A negyedik évben úgy gondolták, hogy nem járja, hogy az osztályfőnök kimaradhat a buliból, ha éppen úgy jön ki, ezért az osztályfőnök nevét két példányban dobták a kalapba. Ő kezdte a húzást, és ha a saját nevét húzta, akkor újat húzott. Ha másodszor is a saját nevét húzta, akkor megint újat, majd a neveit visszadobta a kalapba. Ezután húzott minden gyerek, hasonló módon, ahogy eddig, majd utoljára megint az osztályfőnök. Ha utoljára magát húzta, akkor ő csak egyvalakit ajándékozott meg, és neki is csak egy gyerek adott ajándékot. Ellenkező esetben viszont ketten ajándékozták meg, és ő is két gyereket ajándékozott meg.

Vajon ebben az utolsó esetben minden gyereknek ugyanakkora esélye van kihúznia az osztályfőnököt?

További bónusz kérdések haladóknak, sok banánért!

1. Az első évben mi volt a valószínűsége annak, hogy újra kellett húzni?
2. Az első évben mi volt az újrahúzások számának várható értéke?
3. A második évben mi volt a valószínűsége annak, hogy újra kellett húzni?
4. A második évben mindenki mindenkit ugyanakkora valószínűséggel ajándékozott meg, vagy a húzási sorrend számított?
5. A harmadik évben mi volt a valószínűsége annak, hogy az osztályfőnök végül nem vett részt az ajándékozásban?
6. A negyedik évben mi volt a valószínűsége annak, hogy az osztályfőnök két ajándékot is kapott?

Nehézségi szint:

A megfejtéseket részletes magyarázattal együtt az eszventura@qubit.hu címre várjuk. A leggyorsabb és legkreatívabb megoldást küldő versenyzőink felkerülnek az Ész Ventura dicsőségfalára, közöttük és minden jó megoldást beküldő versenyző között év végén nyereményeket sorsolunk ki. Fiatal megoldóinktól kérjük, hogy tüntessék fel életkorukat és évfolyamukat, mert körükben különdíjakat is ki fogunk sorsolni. Az e-mail subject mezőjében kérjük továbbá sorszámmal jelezni, hogy melyik feladvány megoldásáról van szó. Beküldési határidő: december 25. éjfél.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.