Rosencrantz és Guildenstern című feladványunkban a két Erzsébet-kori úriember a következő játékot játssza: Rosencrantz kivesz hat pénzérmét a zacskójából, majd sorra feldobja és a feldobásuk sorrendjében egymás mögé helyezi őket úgy, ahogy azok a földre pottyantak véletlenszerűen, azaz fejjel vagy írással fölfelé. Ezután Guildenstern vesz ki három pénzérmét a saját zacskójából, és ő is sorban feldobja őket, majd egymás mögé helyezi az érméket a feldobásuk sorrendjében. Ha Guildenstern fej-írás sorozata megtalálható Rosencrantz fej-írás sorozatában, akkor Guildenstern elnyer egy érmét Rosencrantztól, ha nem, akkor Rosencrantz nyer egy érmét Guildensterntől. Az alábbi illusztráción éppen Guildenstern nyer, az egyezés élénk színnel kiemelve.

Egy ideje már játszanak, de Rosencrantznak csak egyre gyűlnek az érméi, pedig egy hat hosszú sorozatba négy három hosszú részsorozat fér bele, három hosszú fej-írás sorozatokból pedig pont nyolc különböző létezik, és mindegyik azonos valószínűséggel jöhet ki Guildensternnek.

Miért veszít mégis többször?

Ha Rosencrantz hat hosszú sorozatában egy konkrét három hosszú részsorozatot veszünk, akkor annak a valószínűsége, hogy Guildenstern három hosszú sorozata ezzel megegyező, a fentiek szerint 1/8. A feladat azt sugallja, mintha ezeket az 1/8 valószínűségeket össze kellene adni, vagyis mivel a hat hosszú sorozatba négy három hosszú részsorozat fér bele, és bármelyikkel való egyezés esetén Guildenstern nyer, négyszer kellene venni az 1/8-ot, hogy megkapjuk Guildenstern nyerési esélyét. Ez még akkor sem lenne jó számítási mód, ha ezek a hármasok egymástól függetlenek lennének.

Nézzük meg előbb azt, hogyan kellene számolni, ha egymástól függetlenek lennének a hármasok. Ezt úgy képzeljük el, hogy Rosencrantz nem hat érmével dob, hanem négy darab teljesen különálló hármas sorozatot dob, és Guildenstern akkor nyer, ha a sajátja bármelyik hármassal megegyezik. Ekkor annak az esélye, hogy az első hármas miatt nyer (ami 1/8), független lenne attól, hogy valamelyik másik hármas miatt nyer (ami szintén 1/8), de ekkor sem úgy kapnánk meg a nyerési esélyét, hogy az 1/8-okat összeadjuk, ugyanis egyszerre több hármassal is egyezhet, vagyis egyszerre több dolog miatt is nyerhetne, tehát a kedvező események között átfedések vannak.

A helyes számítási mód, illetve a trükk, amit ilyenkor alkalmazni lehet, hogy nem a nyerés, hanem a vesztés valószínűségét számoljuk, ugyanis a vesztésre az igaz, hogy mindegyik hármasra vonatkozóan veszítenie kell ahhoz, hogy összességében is veszítsen, ezért a hármas sorozatokra vonatkozó vesztés valószínűségeit, ami 1 - 1/8 = 7/8, mivel függetlenek egymástól, össze lehet szorozni. Annak a valószínűsége tehát, hogy Guildenstern sorozata nem egyezik Rosencrantz egyik (egymástól különálló) hármas sorozatával sem: (7/8)·(7/8)·(7/8)·(7/8). A nyerés valószínűsége pedig 1 - (7/8)·(7/8)·(7/8)·(7/8) = 41,38%.

Ez lenne tehát a megoldás akkor, ha Rosencrantz nem hat érmével dobna, hanem tizenkettővel, és azt négy teljesen különálló hármas sorozatra bontaná, és Guildenstern ezekkel hasonlítaná össze a sajátját. De a helyzet nem ez, mert Rosencrantz nem hat érmével dob, és a hármas részsorozatok egymással átfednek. Ez pedig azt okozza, hogy az egyezések nem lesznek egymástól függetlenek. Gondoljuk el például azt, hogy Rosencrantz hat fejet dob egymás után: ekkor Guildenstern csak három fejjel tud nyerni, de ebben az esetben nemcsak az egyik hármas részsorozattal fog megegyezni a sora, hanem az összessel, mert minden részsorozat ugyanaz, tehát egyszerre egyezik vagy nem egyezik meg az összes részsorozattal.

A helyes megoldáshoz írjuk fel Rosencrantz összes lehetséges, egymástól különböző, fej-írás sorozatait, ezekből 2^6 = 64 darab van, lásd alább, ahol a fejet 0-val, az írást 1-el jelöltük, és ezek mindegyike azonos valószínűséggel jöhet ki.

Guildenstern lehetséges hármas sorozataiból 2^3 = 8 féle van, amik szintén azonos valószínűséggel jöhetnek ki. Számoljuk meg, hogy ezek a lehetséges hármas sorozatok Rosencrantz lehetséges sorozataiban hányban nyernének, azaz hányban szerepelnek, függetlenül attól, hogy hányszor szerepelnek benne.

000: 20-szor nyer
100: 31-szer nyer
001 31-szer nyer
101: 27-szer nyer
010: 27-szer nyer
110: 31-szer nyer
011: 31-szer nyer
111: 20-szor nyer

Ezeket összeadva azt kapjuk, hogy Guildenstern 218 kombinációban nyerne a lehetséges 8·64 = 512 közül, melyek egyforma valószínűségű események. Nyerési esélye tehát 218/512 = 42,58%. 512 játszmából átlagosan 218-at nyerne és 294-et veszítene, vagyis 76 érmét veszítene a szabályok szerint, ami egy játékra vetítve átlagosan kb. 0,15 érme veszteség. Ha viszont úgy játszanának, hogy mindenki annyi érmét nyer, amennyivel a másik dobott, akkor megfordulna a dolog, és Guildensternnek pozitív lenne a várható nyereménye, mégpedig (218·6-294·3)/512 = 0.83 érme.

Azt is meg lehet nézni, hogy a kétféle esetben Rosencrantznak hány érmével kellene dobnia, hogy minél igazságosabb legyen a játék. Kiderül, hogy az eredeti játék esetében hét érmével kéne dobnia, és akkor az ezrelékek nagyságrendjébe esne a várható nyeremény, míg a módosított játék esetében öt érmével, de akkor is elég aszimmetrikus maradna a játék.

Kapcsolódó cikk a Qubiten:

link Forrás