184. feladványunkban az egyszerűsített helyzetben irracionálisnak tűnő, ám versengő ökológiai környezetben optimális „probabilty matching” stratégiáról írtunk. A feladatban azt a kérdést tettük fel, hogy egy racionálisan gondolkodó egyed ki tudná-e használni a többiek ösztönviselkedését.

Példánkban egy seregélycsapatot vettünk, amely minden nap meglátogat egy gyümölcsöst, ahol két részre oszlanak: minden seregély választhat, hogy a kisebbik vagy a nagyobbik cseresznyefára repül. A nagyobb fán mindennap másfélszer annyi az érett gyümölcs, mint a kis fán. Ha egy seregély az egyik fát választja, akkor aznap már csak arról eszik, viszont osztoznia kell azokkal, akik ugyanazt a fát választották.

Ebben a helyzetben, ha minden seregély adott valószínűséggel repül egyik vagy másik fához, akkor az az optimális, ha az elérhető táplálék mennyiségével arányos módon választják meg a valószínűségeket, azaz a fenti helyzetben minden seregély 40 százalékos valószínűséggel repül a kisebbik fára, és 60 százalékos valószínűséggel a nagyobb fára. Ha bármelyik fa esetén ettől nagyobb valószínűséget választanának, akkor annál a fánál általában tolonganának, és kevesebbet tudnának enni azoknál, akik a másik fára repültek.

De mi a helyzet akkor, ha feltesszük, hogy a seregélycsapatban van egy racionálisan gondolkodó egyed, amelyik a többiektől függetlenül választhatja meg a stratégiájához a valószínűségeket, mégpedig annak tudatában, hogy a többiek a fent vázolt 40-60 arányú „probabilty matching” stratégiát követik. A könnyebbség kedvéért a feladatban feltettük, hogy a populáció létszáma 10+1.

Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy minden nap 100 szem érett cseresznye van a két fán összesen. Átlagosan 4 seregély lesz a kisebb fán és 6 seregély a nagyobb fán. Egy ilyen átlagos szituációban, ha a 11. seregély a kisebb fára megy, akkor 40/5 = 8 szem jut neki, ha viszont a nagyobbik fára megy, akkor 60/7 ≈ 8,57 szem jut neki. Ha tehát mindenki a 40-60 arányú „probabilty matching” stratégiát követné, akkor igazságos lenne az osztozkodás, de ha egyvalaki megvárja, míg a többiek döntenek, akkor ő a kialakult szituációban el tudja billenteni az igazságos arányt. Igaz, csak picivel, és minél többen vannak, ez annál kevésbé számít.

A fenti gondolatmenet azonban még nem a teljes megoldás, hiszen csak egy átlagos szituációt tekintettünk, de nem minden eset átlagos. Különféle valószínűségekkel különféle eloszlás alakulhat ki a fák között. Összesen 11 különböző eset lehetséges arra vonatkozóan, hogy a 10 csapattárs hogyan oszlik meg a két fa között.

Legyen p = 3/5 (60%) annak a valószínűsége, hogy egy seregély a nagyobbik fára száll. Ekkor p^10 annak a valószínűsége, hogy minden seregély a nagy fára száll. 10·(1-p)·p^9 a valószínűsége annak, hogy egy seregély a kis fára száll és 9 a nagyra. (10·9/2)·(1-p)^2·p^8 a valószínűsége annak, hogy két seregély a kis fára száll és 8 a nagyra, és így tovább (^ a hatványozás jele). Ez az eloszlás az ún. binomiális eloszlás.

Ha a 11. seregély a kis fára szállna, akkor az esetek 10·(1-p)·p^9-ed részében a kis fa teljes termése, azaz 40 szem jutna neki. Az esetek 10·(1-p)·p^9-ed részében csak egy társával kéne osztozkodnia, azaz 20 szem jutna neki, és így tovább. Az optimális választáshoz a várható értéket kell maximalizálni, azaz a valószínűségekkel súlyozva összegeznünk kell a neki jutó szemeket. Ha a számításokat elvégezzük, akkor azt kapjuk, hogy abban az esetben, ha mindig a kicsi fát választja, akkor kb. 9,06 lesz a neki jutó szemek várható száma, míg abban az esetben, ha mindig a nagy fát választja, akkor kb. 9,09 lesz a neki jutó szemek várható száma. Bármelyiket is választja, több jut neki átlagosan, mint 8,57 szem, amit korábban becsültünk. Hogy lehet ez? Úgy, hogy amikor nem tipikus a seregélyek eloszlása, azaz a választott fára kevesebb jut, mint az átlagos, annak ugyan kisebb a valószínűsége, de nagyon jól járhat, aki odamegy, extrém esetben például minden az övé. Míg abban az esetben, amikor többen szállnak oda, mint az átlag, akkor általában csak picit jut kevesebb, és még extrém esetben is, amikor mindenki odaszáll, jut valami.

Ezzel viszont még mindig nem válaszoltuk meg a kérdést. Azt tudjuk, hogy mi a szemek várható értéke akkor, ha a 11. seregély fixen 1 valószínűséggel valamelyik fát választja, de a feladat tetszőleges valószínűséget (ún. kevert stratégiát) is megenged, azaz meg kell vizsgálni, hogy járhat-e még ennél is jobban, ha néha az egyik, néha a másik fához megy, de fix valószínűségekkel. Természetesen nem: könnyen utána lehet gondolni, hogy ilyenkor szükségszerűen a fenti két érték között lesz a várható érték. Azt kaptuk tehát, hogy a nagyobb fához érdemes mennie. De ha mindenki ilyen okos lenne, és a nagyobbat választaná, akkor megint ott tartunk, hogy mindenki rosszul járna!