Te meg tudod fejteni Matula bácsi rébuszát?
239. feladvány: Hét gyerek
Matula bácsi szeret furfangosan válaszolni. Egyszer megkérdezték tőle, hogy hány évesek a gyerekei. Így válaszolt:
Hét különböző korú gyermekem van, és még egyik se érte el a krisztusi kort. Az az érdekesség, hogy összeadva a gyermekeim életkorait egy kerek számot kapok, de ha összeadom a gyermekeim életkorainak számjegyeit, akkor is kerek számot kapok, és ha tavaly ilyenkor adtam volna össze az életkorok számjegyeit, akkor is kerek számot kaptam volna, és ha jövő ilyenkor adom majd össze a számjegyeket, akkor is kerek számot fogok kapni.
Hány évesek voltak Matula bácsi gyerekei a beszélgetés idején?
Tipp chevron_down
Koncentráljunk arra, hogy az eltérés az egyes évek között szintén kerek szám.
Megoldás chevron_down
Három csoportba oszthatjuk a lehetséges életkorokat az utolsó számjegy szerint. Ha egy életkor utolsó számjegye 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 vagy 8, akkor az egy évvel növelt életkor eggyel növeli a számjegyek összegét, és az egy évvel csökkentett életkor eggyel csökkenti a számjegyek összegét. Ha viszont 9-re végződik egy életkor, akkor az egy évvel növelt életkor nyolccal csökkenti a számjegyek összegét, mert az utolsó számjegy 9-ről 0-ra változik, viszont eggyel nő az utolsó előtti számjegy. Ha pedig egy életkor kerek, azaz 0-ra végződik, akkor ennek a fordítottja történik, vagyis az egy évvel csökkentett életkor nyolccal növeli a számjegyek összegét.
Tegyük fel hogy van N0 darab 0-ra végződő életkorunk, N9 darab 9-re végződő életkorunk, és Nx darab, ami másra végződik. Ekkor a számjegyek összegének megváltozása, N0 + Nx - 8·N9, ha eggyel növelünk minden életkort, és 8·N0 - Nx - N9, ha eggyel csökkentünk minden életkort. Ha a számjegyek összege mindkét esetben kerek, azaz 10-zel osztható, akkor a köztük lévő különbségek, vagyis a fenti kifejezések is 10-zel oszthatók. Ezeket a különbségeket összeadva viszont a 9·N0 - 8·N9 kifejezést kapjuk, aminek szintén 10-zel oszthatónak kell lennie. Ez csak úgy lehet, ha N0 - N9 osztható 10-zel, de N0 és N9 hétnél nem nagyobb számok, ezért ez csak úgy lehetséges, ha N0 - N9 = 0, azaz N0 = N9.
Mivel viszont N0 + Nx + N9 = 7, ezért csak az alábbi négy eset lehetséges:
- N0 = N9 = 0 ⇒ Nx = 7.
- N0 = N9 = 1 ⇒ Nx = 5.
- N0 = N9 = 2 ⇒ Nx = 3.
- N0 = N9 = 3 ⇒ Nx = 1.
Ezekből az esetekből viszont könnyen ellenőrizhető, ha visszahelyettesítünk, hogy csak az utolsó esetben lesz a 8·N0 - Nx - N9 kifejezés 10-zel osztható. Ebből tehát az következik, hogy három gyerek életkora kerek, három gyerek életkora pedig 9-re végződik. Mivel viszont a gyerekek életkorai különböznek, és 33 év alattiak, ezért ebből tudjuk, hogy hat gyerek életkora az alábbi: 10, 20, 30, 9, 19, 29. A hetedik gyerek életkora pedig olyan kell legyen, hogy a számjegyek összege kerek legyen. A számjegyek összege a hat gyerekre 36, tehát még 4-re vagy 14-re van szükségünk. Másrészt viszont a gyerekek életkorainak összege is kerek kell legyen, és az életkorok összege a hat gyerekre 117, tehát egy 3-ra végződő kell legyen a hetedik gyerek életkora, a számjegyek összege pedig 4 vagy 14 kell legyen. Az egyetlen lehetőség, ha a szóban forgó hetedik gyerek 13 éves.
Ha szereted a fejtörőket, tekintsd meg korábbi feladványainkat is. Ha megjegyzésed lenne, vagy feladványt javasolnál, írj az eszventura@qubit.hu e-mail címre. Ha pedig tetszik a rovat, akkor ezt a Vendégkönyvben kifejezésre juttathatod.
Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.
Kapcsolódó cikkek
