Hányféleképpen lehet a 2025-öt felírni különböző pozitív egész számok köbeinek összegeként?
- Link másolása
- X (Twitter)
- Tumblr
A 2025-ös év több szempontból is különleges volt, elég ha csak az évszámot nézzük, ami négyzetszám, és a legtöbb ember életében az egyetlen, hiszen 89 éve volt utoljára négyzetszám, és 91 év múlva lesz majd újra. A 2025 ráadásul nem is akármilyen négyzetszám, ugyanis pont a tízes számrendszerben használt számjegyeink összegének a négyzete:
(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)2 = 2025.
Ennek folyománya egyébként, hogy a tízes szorzótábla számainak összege is pont 2025. De ha már négyzetszámokról volt szó, nézzük meg azt is, hogy a köbszámokkal hogyan lehet kikombinálni a 2025-öt.
278. feladvány: Köbösszeg
Hányféleképpen lehet a 2025-öt felírni különböző pozitív egész számok köbeinek összegeként?
Tipp
Egyféleképpen biztos, mert
13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93 = 2025.
Megoldás
Legyen M a legnagyobb szám, aminek a köbe szerepel az összegben. Mivel
13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93 = 2025,
ezért M = 9 esetén pontosan ez az egy megoldás van, hiszen itt minden 9-nél kisebb pozitív szám szerepel, ami csak lehetséges, és éppen ezért M nem lehet 9-nél kisebb, mert bármit kihagyva a fenti köbösszegből az már kisebb lesz, mint 2025.
Másrészt viszont M nem lehet 12-nél nagyobb, mert 13 köbe 2197, ami már nagyobb, mint 2025. Tehát az a kérdés, hogy M = 10, 11 vagy 12 esetén van-e még megoldás.
M = 10 esetén a maradék, amit köbösszegként kéne előállítani:
2025 - 103 = 2025 - 1000 = 1025.
M = 11 esetén a maradék, amit köbösszegként kéne előállítani:
2025 - 113 = 2025 - 1331 = 694.
M = 12 esetén pedig a maradék, amit köbösszegként kéne előállítani:
2025 - 123 = 2025 - 1728 = 297.
A kérdés tehát az, hogy 297, 694 vagy 1025 előáll-e különböző pozitív köbszámok összegeként. Amikből pedig építkezni lehet, azok az 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.
216 nélkül viszont a maximum 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225.
Hasonló módszerrel könnyen végigzongorázható, csak picit hosszabban, a 694 és az 1025 is, és egyik sem tud előállni különböző pozitív köbszámok összegeként.
Ha szereted a fejtörőket, tekintsd meg korábbi feladványainkat is! Ha megjegyzésed lenne, vagy feladványt javasolnál, írj az eszventura@qubit.hu e-mail címre! Ha pedig tetszik a rovat, ezt a Vendégkönyvben kifejezésre juttathatod.
Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.
