Emlékezzünk a tavalyi évre! Miért volt különleges a 2025-ös évszám?

A négyzet oldala nem lehet a rácsvonalakkal párhuzamos, hiszen akkor a négyzet oldala egy egész szám lenne, ennek okán pedig a területe egy négyzetszám, de 2026 nem négyzetszám. Ellenben emlékezhetünk rá tavalyról, hogy a 2025 négyzetszám, tehát 2026 előáll két négyzetszám összegeként: 45² + 1² = 2026. Ilyen módon tehát, ha veszünk egy olyan derékszögű rácsháromszöget, aminek az egyik befogója 1 egység, a másik befogója pedig 45 egység, akkor annak az átfogójára emelt négyzet területe éppen 2026 lesz, és egy ilyen négyzet rácsnégyzet lesz. Ha ezt az origóba toljuk, akkor tükrözésekkel és forgatásokkal összesen nyolc féle rácsnégyzet adódik. Az alábbi ábrán nem egy 2026 területű négyzetet látunk, csak a nyolcféle lehetőség illusztrációjára szolgál az ábra. A kérdés viszont az, hogy ezeken kívül van-e még más lehetőség?

Azt már megállapítottuk, hogy a 2026 területű rácsnégyzetnek ferdén kell állnia. Tegyük fel, hogy a ferde négyzet egyik oldalának vízszintes és függőleges vetületei a és b. Mivel rácsnégyzetről van szó, ezért ezek a számok egész számok különbségei, tehát maguk is egészek. A Pitagorasz-tétel szerint 2026 = a² + b², a kérdés tehát, hogy van-e ennek az egyenletnek más megoldása az egész számok között, mint az, amikor |a| és |b| egyike 1, a másik pedig 45. Természetesen csak véges sok lehetőség jöhet szóba az egész számok körében, de mivel 33² > 2026/2, ezért elegendő 32-től 44-ig megnézni a négyzetszámokat, hogy 2026-ból levonva őket, a maradék négyzetszám-e. Kiderül, hogy más megoldás nincs.