Bosszankodtál már azon a reggeli dugóban ülve, hogy miért nem építenek végre egy új sávot, elkerülőutat vagy felüljárót, ami megoldaná a város közlekedési problémáit? A józan ész azt diktálja, hogy ha egy úthálózatot kibővítünk egy újabb útszakasszal, akkor több lesz a lehetőség, eloszlik a forgalom, így a közlekedés csak gyorsabb lehet, de semmiképpen sem lassabb. Nos, a matematika rácáfol az intuíciónkra: egy hálózat kapacitásának növelése bizonyos esetekben nemhogy javítaná, hanem egyenesen rontja az összes közlekedő utazási idejét. Hogyan lehetséges ez?

A kulcs a játékelméletben rejlik. Amikor mindenki önző módon saját maga számára keresi a leggyorsabb utat, a rendszer beállhat egy olyan egyensúlyi állapotba, ahol senkinek sem éri meg egyoldalúan útvonalat változtatni, a rendszer mégis távol esik a globális optimumtól, azaz attól az állapottól, amikor a közösség egésze a legkevesebb időt tölti az utakon.

Bármilyen hihetetlen, ez nem csak matematikai okoskodás, számtalan megtörtént eset példázza az elméletet. 1990-ben New Yorkban a Föld napja alkalmából lezárták a forgalmas 42. utcát, a közlekedés azonban ettől sosem látott mértékben felgyorsult. Szöulban egy hatsávos autópályát bontottak le a város közepén, hogy egy parkot hozzanak létre a helyén, és ettől a városi forgalom paradox módon mérhetően megjavult. Stuttgartban a 70-es években egy új utat kellett lezárni nem sokkal az átadása után, mert amint megnyitották, a belváros közlekedése teljesen megbénult. Az alábbi feladványban egy konkrét példát mztatunk arra, hogyan állhat elő ilyen helyzet, amit az irodalom Braess-paradoxonként ismer.

313. feladvány: Értelmetlen felüljáró?

Az A pontból minden reggel pontosan 4000 autós indul el a B pontba dolgozni. A két pont között egy kiterjedt vasúti teherpályaudvar húzódik, amely kettévágja a közlekedést, így a forgalom két egymástól független útvonalon, egy északi (É) és egy déli (D) csomóponton keresztül haladhat.

Az A pontból az északi csomópontig régi, szűk utcákon kell kievickélni. Itt a menetidő az autók számától függ: ha x darab autós választja ezt az utat, akkor nekik x/100 percig tart megtenni az utat az északi csomópontig. Az északi csomóponttól azután többsávos autópálya vezet a B pontig, amely sosem dugul be: itt fixen 45 perc az út.

A déli útvonalon fordítva van, először autópályán lehet menni a déli csomópontig, ami fixen 45 perc, majd szűk utcákon lehet folytatni az utat a B pontig, ahol a menetidő x/100, ahol x nem más, mint az ezt az utat választó autósok száma.

Mivel a két útvonal teljesen szimmetrikus, a forgalom is eloszlott, ezért eddig 2000-en mentek északnak, 2000-en délnek, így mindenkinek pontosan 2000/100 + 45 = 65 percig tartott az út.

A polgármester azonban nemrég építtetett egy vadonatúj soksávos felüljárót a teherpályaudvar fölé, ami így közvetlenül összeköti az északi és a déli csomópontot. Az ezen való áthaladás ideje elhanyagolható, számolhatunk 0 perccel az egyszerűség kedvéért.

Amikor átadták a felüljárót, az autósok külön-külön szabadon dönthettek, hogy hol mennek az út első, illetve második felében, hiszen a felüljáró félúton lehetővé tette a váltást, mégpedig elhanyagolható plusz idővel. Így viszont mindenki számára a két keskeny út lett a legrövidebb, hiszen azokon 4000 autós esetén is csak 40 percig tart a félút, vagyis nincs értelme a 45 perces autópályát választani. Ilyen módon minden autós a keskeny utakon kezdett közlekedni, és kiürült az autópálya, a menetidő pedig 40 + 40 = 80 perc lett a korábbi 65 perc helyett!

Azt láthatjuk tehát, hogy ha mindenki a saját idejét akarja minimalizálni az adott helyzetben, akkor sajnos mindenki rosszabbul jár. Ha valaki irányítaná az összes közlekedőt, és azon az útvonalon járnának, mint régen, akkor mindenki 65 perc alatt célhoz jutna a 80 perc helyett, csak senki nem venné igénybe a felüljárót. Lehetséges-e az, hogy koordinált mozgással a felüljárót esetleg mégis ki lehet használni, és csökkenteni az emberek átlagos menetidejét?

Tipp

Gondolkodjunk késleltetésben!

Megoldás

Bár fura ez az egész Braess-paradoxon, ha megértettük a lényegét, akkor kezdjük elfogadni, hogy az új út csak ront a helyzeten, és legfeljebb a régi megoldáshoz térhetünk vissza. Ne feledjük azonban, hogy a paradoxon csak akkor áll fenn, ha az autósok lokálisan az aktuális legrövidebb megoldás felé törekszenek. Ha viszont mi irányíthatjuk őket, akkor nemcsak azt tehetjük meg, hogy átirányítjuk őket egy másik útra, hanem várakoztathatjuk is őket.

Ha csak azzal játszanánk, hogy változtatnánk azon, hogy hányan mennek az egyik vagy a másik úton, akkor nem tudnánk javítani az összes autós közös átlagidején. Van azonban egy trükk, amivel mégis tudunk javítani, nevezetesen az, ha kivárjuk a torlódás megszűnését. Indítsuk például 1000-es blokkokban az autósokat, ekkor 10 + 10 = 20 perc alatt átjut az első csoport a két keskeny úton, és 10 perc után már nem lesz senki az A-ból induló keskeny úton, tehát 10 perc várakozás után indulhat a második 1000-es csoport, akik szintén 20 perc alatt jutnak át, de még ez is csak 30 perc a 10 perc várakozással együtt. A következő csoportnak 40 perc lesz összesen, a legutolsónak pedig 50 perc. Így az összes autós átlaga: (20 + 30 + 40 + 50) / 4 = 35 perc, ami jelentősen javít a 65 percen.

Ha 500-as csoportokban indítanánk az autósokat 5 perc várakozással, akkor még több időt spórolnánk, csak egy idő után beleütközünk az x/100-as képletünk korlátaiba. Ez a képlet ugyanis lényegében azt feltételezte, hogy mindenki nagyjából egyszerre akarja igénybe venni ugyanazt az útszakaszt, de ez a nagyjából nem egy jól definiált matematikai fogalom. Ha nagyon apró, egymást elkerülő csoportokra vagy autókra tördeljük a tömeget, akkor a képlet alapfeltétele omlik össze, hiszen a valóságban akkor már nem fognak összetorlódni az autók.

Ha szereted a fejtörőket, tekintsd meg korábbi feladványainkat is. Ha megjegyzésed lenne, vagy feladványt javasolnál, írj az eszventura@qubit.hu e-mail címre. Ha pedig tetszik a rovat, akkor ezt a Vendégkönyvben kifejezésre juttathatod.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.