Az e heti feladvány egy fraktállal lesz kapcsolatos, amit az alábbi illusztráció mutat, mégpedig a 2019-es év színével, azaz élénk korall színnel kiszínezve. Ha valakit nem is érdekel a fraktállal kapcsolatos matematikai kérdés, érdemes bandzsítva bámulni a fraktált, vagyis fókuszáljatok a kép síkja mögé, mint amikor autosztereogrammot néz az ember. Kíváncsan várom, hogy ki mit lát benne, ha sokáig nézi. A cikk végén megtaláljátok a képet nagyobb felbontásban is, amit letölthettek, csak el kell forgatni!

43. feladvány: Bandzsítós fraktál

Két azonos mértetű egymást érintő kört, melyek középpontjai egyazon vízszintes vonalon helyezkednek el, fekvő nyolcasnak fogunk hívni a továbbiakban. A fenti fraktál határvonalát végtelen sok különböző méretű fekvő nyolcas összetevéséből kaphatjuk meg az alábbi módon.

Első lépésként kiindulunk egy fekvő nyolcasból, ez lesz a két legnagyobb kör a fenti ábrán középen. Legyen ezeknek a magassága 10 cm. Ezután vesszük mindkét fekvő nyolcast alkotó körnek a közös érintkezési ponttal átelennes pontját, és lehelyezünk ezekhez a pontokhoz egy-egy felére kicsinyített fekvő nyolcast úgy, hogy azok közös érinkezési pontjai pont ezekre a pontokra essenek és az összes fekvő nyolcas hosszanti tengelye essen egyazon vízszintes egyenesre.

Ugyanezt a procedúrát folytatjuk tovább a végtelenségig. Vagyis minden lépésben veszünk fele akkora fekvő nyolcasokat, mint az előző lépésben, és ezeket az előző lépésben berajzolt fekvő nyolcasok két szélső pontjába helyezzük olyan módon, hogy ezekbe a szélső pontokba essen a fekvő nyolcasok középpontja, azaz a fekvő nyolcast alkotó körök érintkezési pontja.

Végül pedig kiszínezzük a kapott területeket úgy, hogy a külső tartományok legyenek élénk korall színűek, majd az ezekkel élben szomszédos belsőbb tartományok legyenek fehérek, majd azokkal élben szomszédosak újra korallszínűek, és így tovább, felváltva, vagyis korall színű tartományok csak pontban érintkezhetnek, de körívek mentén nem.

Mindezek után kettő plusz egy egyszerű kérdés. Mekkora a fraktál élénk korall színre színezett területe? Mekkora ezen élénk korall színű tartomány kerülete?

És végül csakis haladóknak! Mekkora a korall színű tartomány fraktáldimenziója? Hogy pontosabbak legyünk, az ún. dobozdimenziója. És természetesen ugyanezt a kerületre, azaz a fraktált határoló görbére is meg lehet kérdezni.

Megjegyzés: az alábbi nehézségi szint nem a haladóknak szoló kérdésre vonatkozik!

Nehézségi szint:

A megfejtést az eszventura@qubit.hu címre várjuk, ha szükséges, akkor magyarázó ábrával együtt. A legértékesebb megoldást beküldő versenyzők felkerülnek az Ész Ventura dicsőségfalára, közöttük és minden jó megoldást küldő versenyző között év végén nyereményeket sorsolunk ki. Az e-mail subject mezőjében, kérjük sorszámmal jelezni, hogy melyik feladvány megoldásáról van szó. Beküldési határidő: február 1. éjfél.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus és bűvész

Frissítés: MEGOLDÁS