Ész Ventura: Mekkora a fraktál pirosra színezett területe?

Az e heti feladvány egy fraktállal lesz kapcsolatos, amit az alábbi illusztráció mutat, mégpedig a 2019-es év színével, azaz élénk korall színnel kiszínezve. Ha valakit nem is érdekel a fraktállal kapcsolatos matematikai kérdés, érdemes bandzsítva bámulni a fraktált, vagyis fókuszáljatok a kép síkja mögé, mint amikor autosztereogrammot néz az ember. Kíváncsan várom, hogy ki mit lát benne, ha sokáig nézi.


Illusztráció: Gáspár Merse Előd

43. feladvány: Bandzsítós fraktál

Két azonos mértetű egymást érintő kört, melyek középpontjai egyazon vízszintes vonalon helyezkednek el, fekvő nyolcasnak fogunk hívni a továbbiakban. A fenti fraktál határvonalát végtelen sok különböző méretű fekvő nyolcas összetevéséből kaphatjuk meg az alábbi módon.

Illusztráció: Gáspár Merse Előd

Első lépésként kiindulunk egy fekvő nyolcasból, ez lesz a két legnagyobb kör a fenti ábrán középen. Legyen ezeknek a magassága 10 cm. Ezután vesszük mindkét fekvő nyolcast alkotó körnek a közös érintkezési ponttal átelennes pontját, és lehelyezünk ezekhez a pontokhoz egy-egy felére kicsinyített fekvő nyolcast úgy, hogy azok közös érinkezési pontjai pont ezekre a pontokra essenek és az összes fekvő nyolcas hosszanti tengelye essen egyazon vízszintes egyenesre.

Ugyanezt a procedúrát folytatjuk tovább a végtelenségig. Vagyis minden lépésben veszünk fele akkora fekvő nyolcasokat, mint az előző lépésben, és ezeket az előző lépésben berajzolt fekvő nyolcasok két szélső pontjába helyezzük olyan módon, hogy ezekbe a szélső pontokba essen a fekvő nyolcasok középpontja, azaz a fekvő nyolcast alkotó körök érintkezési pontja.

Végül pedig kiszínezzük a kapott területeket úgy, hogy a külső tartományok legyenek élénk korall színűek, majd az ezekkel élben szomszédos belsőbb tartományok legyenek fehérek, majd azokkal élben szomszédosak újra korallszínűek, és így tovább, felváltva, vagyis korall színű tartományok csak pontban érintkezhetnek, de körívek mentén nem.

Mindezek után kettő plusz egy egyszerű kérdés. Mekkora a fraktál élénk korall színre színezett területe? Mekkora ezen élénk korall színű tartomány kerülete?

És végül csakis haladóknak! Mekkora a korall színű tartomány fraktáldimenziója? Hogy pontosabbak legyünk, az ún. dobozdimenziója. És természetesen ugyanezt a kerületre, azaz a fraktált határoló görbére is meg lehet kérdezni.

Megjegyzés: az alábbi nehézségi szint nem a haladóknak szoló kérdésre vonatkozik!

Nehézségi szint:

A megfejtést az eszventura@qubit.hu címre várjuk, ha szükséges, akkor magyarázó ábrával együtt. A legértékesebb megoldást beküldő versenyzők felkerülnek az Ész Ventura dicsőségfalára, közöttük és minden jó megoldást küldő versenyző között év végén nyereményeket sorsolunk ki. Az e-mail subject mezőjében, kérjük sorszámmal jelezni, hogy melyik feladvány megoldásáról van szó. Beküldési határidő: február 1. éjfél.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus és bűvész

A kokain és a hatalmi mámor neurobiológiája

A legdrágább illegális drogként számon tartott stimuláns az agy jutalmazó központjának működését befolyásolva egyszerre több helyen fejti ki hatását. A hatalmi mámor, az extrém motiváció, a hiperaktivitás és a zsigeri eufória együtteséért azonban nagy árat kell fizetni: a drogkereső magatartás beleég az idegsejtek kapcsolataiba.

A várható környezeti katasztrófa miatt megkezdték a Föld kincseinek archiválását

A Föld összes kulturális és ökológiai kincsét 3D-s térképre vinné kutatók egy csoportja – különös tekintettel a kincsek közeljövőben várható pusztulására. A LIDAR-os adatfelvételt azokon a területeken kezdik, amelyek a leginkább ki vannak téve a klímaváltozás hatásainak. Az ötletgazda szerint irtózatos mennyiségű munkáról van szó, amelynek eredményét leghamarabb a gyerekeik unokái élvezhetik majd.