Ész Ventura: Megkülönböztethetetlenségeskedéseitekért

Megkülönböztethetetlen kockák című feladványunkban a megkülönböztethetetlenség sokak számára nem volt könnyen befogadható fogalom. Az volt a feladat, hogy néhány darab hagyományos, hatoldalú, de egymástól teljesen megkülönböztethetetlen dobókocka segítségével szimuláljunk egy szabályos 12 oldalú dobótestet, azaz dodekaédert. Mégpedig úgy, hogy a kockákkal egyszerre és csak egyszer dobunk.



Különféle dobótestek, köztük a ötszöglapokkal határolt 12 oldalú dodekaéder bal fölül.Fotó: fdecomite (Flickr)

A gyakorlatban természetesen megjelölhetnénk a kockákat például ceruzapöttyel, vagy ha a kockák a dobás előtt nem is megkülönböztethetőek, de dobás után megkülönböztethetnénk őket például az asztal szélétől való távolságuk függvényében, bár ez utóbbi meghatározása esetenként vitára adhatna okot, amikor újra kellene dobni. Éppen ezért a feladatban, hogy a megkülönböztethetetlenség egyértelmű legyen, úgy fogalmaztam: tekintsük úgy, hogy a kockákkal nem mi dobunk, hanem valaki más, és az illető csak bemondja nekünk a dobott eredményt, mégpedig növekvő számsorrendben felsorolva a kockák értékét.

Ha a kockák megkülönböztethetők lennének, akkor egyszerű lenne a megoldás két kockával. Az egyik kockát ugyanis csak kijelölnénk arra, hogy eldöntse, hozzáadjunk-e hatot a másik kocka értékéhez vagy sem. Ha a kijelölt kockával mondjuk páratlan számot dobunk, akkor egyszerűen csak vesszük a másik kocka által dobott értéket, ami 1-től 6-ig bármelyik szám lehet egyenletes eloszlással, ha viszont a kijelölt kockával páros számot dobunk, akkor adjunk hozzá a másik kocka értékéhez 6-ot, így 7-től 12-ig kapunk valamit egyenletes eloszlással. Összességében tahát 1-től 12-ig kapunk egyenletes eloszlással egy számot, amit szerettünk volna.

Meg fogjuk mutatni azonban, hogy két megkülönböztethetetlen dobókockával már nem megoldható 1-től 12-ig számot generálni egyenletesen, viszont hárommal már lehetséges, azaz szimulálni tudjuk a 12 oldalú szabályos dodekaédert.

Ha két megkülönböztethetetlen kockával dobunk, akkor az alábbi kimenetelek lehetségesek a hozzájuk tartozó valószínűségekkel. Két darab 1-es dobás valószínűsége 1/36, hiszen mindkét kockával külön-külön 1-est kell dobnunk, amiknek külön-külön egymástól függetlenül 1/6 az esélye. Hasonlóan 1/36-od eséllyel jön ki két 2-es, vagy két 3-as, vagy bármilyen két egyforma érték. Ha viszont két különböző értéket dobunk, például 3-ast és 5-öst, akkor ennek a párnak az esélye 2/36 lesz, ugyanis kétféleképpen jöhet ki: vagy úgy, hogy az egyik kockával dobunk 3-ast és a másikkal 5-öst, vagy az egyikkel 5-öst és a másikkal 3-ast. Megkülönböztethetetlenek, így nem tudjuk, hogy melyik történt, de az esély 1/36+1/36 lesz. Különböző párokból pedig 15 lehetőség van: 6–5, 6–4, 6–3, 6–2, 6–1, 5–4, 5–3, 5–2, 5–1, 4–3, 4–2, 4–1, 3–2, 3–1, 2–1.

Összesen tehát 6+15 = 21 különböző kimenetel lehetséges. Ezekből hatnak egyenként 1/36 a valószínűsége, 15-nek pedig egyenként 2/36. Ellenőrzésként össze is adhatjuk őket, és látjuk, hogy 6 × (1/36) + 15 × (2/36) = 1. Mármost ha egy 12 oldalú szabályos dobótestet szeretnénk egy ilyen dupla dobással szimulálni, akkor ezt a 21 lehetséges eseményt kellene úgy csoportosítani, hogy a csoportok valószínűségei 1/12-ek legyenek. Mivel 1/12 = 3/36, ezért egy csoportba vagy három darab 1/36-os eseménynek kell esnie, vagy egy 2/36-osnak és egy 1/36-osnak. Akárhogyan is, minden csoportba kéne jusson legalább egy darab 1/36-os esemény, amikor mindkét kockán ugyanazt dobtuk, de ilyenekből sajnos csak hat darab van, nincs tizenkettő. Nem tudjuk tehát megfelelően elosztani a lehetséges kimeneteleket. Ezzel megmutattuk, hogy két kockával nem szimulálható a szabályos dodekaéder.

Nézzük, mi a helyzet három kocka esetén! Ekkor háromféle dobástípus lehetséges: amikor mindhárom dobás egyforma, amikor pontosan két egyforma van, vagy amikor minden dobott szám különbözik. Nézzük, ezekből külön-külön hány lehetőség van összesen, és azoknak mekkorák a valószínűségeik egyenként.

Három egyforma számot hatféleképpen dobhatunk (1–1–1, 2–2–2, stb.) és ezek mindegyikének (1/6) × (1/6) × (1/6) = 1/216 a valószínűsége. Pontosan két egyforma szám 30 féleképpen jöhet ki, ehhez ugyanis ki kell választani két különböző számot, mint korábban a 15 lehetőség, de most meg kell őket különböztetnünk, mert az egyikből kettőt dobunk, a másikból csak egyet, tehát a 3–3–5, az más dobás, mint az 3–5–5. Az ilyen típusú dobás valószínűsége pedig 3/216, mert például a 3–3–5 esetén háromféle kockán jöhet ki az 5-ös, a maradék kockákon viszont 1/36 a valószínűsége, hogy kijön a 3–3.

Végül nézzük, hogy hány esetben jöhetnek ki csupa különböző számok. Soroljuk fel őket csökkenő sorrendben: 6–5–4, 6–5–3, 6–5–2, 6–5–1, 6–4–3, 6–4–2, 6–4–1, 6–3–2, 6–3–1, 6–2–1, 5–4–3, 5–4–2, 5–4–1, 5–3–2, 5–3–1, 5–2–1, 4–3–2, 4–3–1, 4–2–1, 3–2–1. Ez összesen 20 lehetőség, és mindegyik valószínűsége 6/216, mert a háromféle különböző számot hat különböző sorrendben lehet a három kockára kiosztani.

Ellenőrzésképpen nézzük meg most is, hogy az összes lehetőség valószínűségeit összeadva 1-et kapunk-e: 6 × (1/216) + 30 × (3/216) + 20 × (6/216) = 1, valóban. A kérdés már csak az, hogy ezt a 6 + 30 + 20 = 56 lehetséges eseményt 12 csoportba lehet-e osztani úgy, hogy minden egyes csoport valószínűsége 1/12 = 18/216 legyen. Ezt nagyon könnyen meg lehet csinálni, innen már a kedves olvasóra bízom a befejezést.