84. feladvány: A különleges ötös teszt

Tegyük fel, hogy egy országban járvány dúl, és le szeretnénk tesztelni az összes embert, hogy megtudjuk, pontosan kik a vírushordozók. Egy különleges teszttel már elvégeztek egy előzetes mérést. Ennek során a teljes lakosságot 5 fős csoportokba osztották, és az 5 fős csoportokban az egyének mintáit összeöntve közös tesztet végeztek minden csoportra. A teszt nemcsak azt állapította meg, hogy az adott csoportban valaki fertőzött-e, hanem az is teljes biztonsággal kiderült belőle, hogy a csoportból pontosan hány fő hordozza a vírust.

N₅ = 5000 csoportban mind az 5 fő fertőzött volt, N₄ = 6000 csoportban 4 fő, N₃ = 7000 csoportban 3 fő, N₂ = 8000 csoportban 2 fő, N₁ = 9000 csoportban csak 1 fő volt fertőzött. A populáció maradékában nem volt fertőzött.

Ez a különleges teszt azonban elfogyott, és már csak olyan teszt elérhető, darabja 30 dollárért, ami csak azt mondja meg, hogy egy vizsgált mintában van-e fertőzés. A korábbi egyéni minták mindegyikének egy része még megvan, és megengedett, hogy ezeket tetszőleges módon összeöntsük, de csakis csoportokon belül képezhetünk belőlük közös mintákat. Az egyéni mintákat viszont részekre is oszthatjuk, hogy egy-egy fő mintáját több mérésben is használni tudjuk.

A kérdés az, hogy optimális tesztelési stratégia esetén minimum hány dollárba fog kerülni a tesztelés befejezése, ha az összes vírushordozó személyt azonosítani szeretnénk? Bármilyen stratégiát is választunk, számítsunk mindig a legrosszabb lehetőségre, ami előállhat.

Haladóknak: mi van akkor, ha nem mindig a legrosszabb esettel számolunk, hanem figyelembe vesszük a valószínűségszámítás szabályait azzal a feltételezéssel, hogy a minták csoporton belül teljesen függetlenek egymástól? Ekkor várhatóan hány dollárt kell még elköltenünk?

Nehézségi szint:

A megfejtéseket részletes magyarázattal együtt az eszventura@qubit.hu címre várjuk. A legértékesebb megoldást küldő versenyzők felkerülnek az Ész Ventura dicsőségfalára, közöttük és minden jó megoldást beküldő versenyző között év végén nyereményeket sorsolunk ki. Az e-mail subject mezőjében kérjük sorszámmal jelezni, hogy melyik feladvány megoldásáról van szó. Beküldési határidő: április 30. éjfél.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus és bűvész.