Ész Ventura: Meg tudod szerkeszteni a kör középpontját, ha csak egy kétélű vonalzód van?

Nincsen jövőnk tudomány nélkül, nincsen Qubit nélkületek. Támogasd a munkánkat!

Talán kevesen tudják, de teljesen fölöslegesen bajlódtunk a vonalzóval az iskolában. A Mohr-Mascheroni-tétel ugyanis kimondja, hogy csak körző használatával minden olyan pont megszerkeszthető a síkon, ami körző és vonalzó együttes használatával szerkeszthető. (Egy egyenes folytonosan végtelen sok pontja természetesen nem, hanem itt egyedi pontokra gondolunk.) A vonalzó viszont egyedül nem elég, a vonalzó a körzőnél gyengébb eszköz a pontszerkesztések tekintetében, ami nem véletlen, ugyanis egy egyenes vonal lineáris egyenlettel írható le a síkon, míg a kör másodrendű görbe.

Egy ilyen másodrendű görbéből viszont egy darab is elég, amit segítségül hívhatunk bármilyen szerkesztéshez. A Poncelet–Steiner-tétel kimondja, hogy az euklidészi szerkesztéssel (azaz körző és vonalzó használatával) megszerkeszthető pontok a síkon megkaphatók csak vonalzó használatával is, abban az esetben, ha adott a síkon akárhol egyetlen tetszőleges sugarú kör, amelynek a középpontját is ismerjük. Viszont nincs olyan csak vonalzós szerkesztési eljárás, amely bármely kör középpontját előállítaná.

Igen ám, de amikor vonalzó használatáról beszélünk az euklidészi szerkesztések kapcsán, akkor az alatt azt szoktuk érteni, hogy két pont között tudunk egyenest húzni. A valódi vonalzó viszont, amit egy iskolás gyerek szerkesztéshez használhat, ennél általában többet is tud. Például vannak rajta rovátkák, némelyik derékszögű vagy két éle van, stb. Vajon egy valódi vonalzóval többre is képesek vagyunk?

111. feladvány: Szerkesztés kétélű vonalzóval

Kétélű vonalzónak nevezünk egy olyan vonalzót, aminek két darab egymással párhuzamos éle van. Tegyük fel, hogy rovátkák nincsenek rajta, ceruzával nem szabad a vonalzóra firkálni, és a vonalzó végeit sem tudjuk használni, se vonalzónyi fix távolság felmérésére, se derékszög szerkesztésére. Képzeljük el úgy, ahogy az alábbi ábrán látszik.

Illusztráció: Gáspár Merse Előd

A kérdés: ha adott a síkon egy körvonal, meg tudjuk-e szerkeszteni csak a kétélű vonalzó segítségével a kör középpontját?

Ha ez így lenne, akkor a Poncelet–Steiner-tétel szerint már minden megszerkeszthető, amit euklidészi szerkesztéssel meg lehet oldani. Ez azt jelentené, hogy elég vagy csak körzőt vinnünk az iskolába, vagy egy kétélű vonalzót és egy kerek peremű bögrét. Sőt a bögre már sok is, mert azzal több ugyanolyan kör is rajzolható, nekünk pedig elég egyetlen egy darab.

Bónuszkérdések: Akkor is meg tudod csinálni a szerkesztést, ha a kör hatalmas a vonalzóhoz képest? Mi a helyzet akkor, ha a vonalzó egyélű, de vannak rajta rovátkák, pl. milliméter beosztás? És akkor, ha a vonalzó két éle nem párhuzamos egymással, hanem szöget zárnak be, ahogy az alábbi ábrán látszik? Ezekben az esetekben meg tudjuk szerkeszteni csak vonalzó segítségével egy tetszőleges kör középpontját? És mi a helyzet akkor, ha a kör nem rajzolva van, hanem maga a papír kör alakú, amin a szerkesztést végezzük, tehát csak a véges körlapon belül van módunkban rajzolni?

Illusztráció: Gáspár Merse Előd

Nehézségi szint:

A megfejtéseket magyarázattal és a szükséges ábrákkal együtt az eszventura@qubit.hu címre várjuk. A legértékesebb megoldást küldő versenyzők felkerülnek az Ész Ventura dicsőségfalára, közöttük és minden jó megoldást beküldő versenyző között év végén nyereményeket sorsolunk ki. Az e-mail subject mezőjében kérjük sorszámmal jelezni, hogy melyik feladvány megoldásáról van szó. Beküldési határidő: március 15. éjfél.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus és bűvész.