Családi konvergencia című feladványunk egy híres feladvány bonyolított változata volt, de mindkét feladványnak létezik egy egyszerű, trükkös megoldása. Az eredeti feladványban egy légy repked állandó sebességgel két ugyancsak állandó sebességgel egymás felé haladó kerékpáros között oda-vissza, és a légy által a közös találkozási pontig megtett út a kérdés. Mivel a kérdés a légy útjára vonatkozik, kézenfekvőnek tűnik összeadogatni az egyes találkozások, azaz visszafordulási pontok között megtett szakaszok hosszát, ezekből azonban végtelen sok lesz, ezért felsőbb matematika szükséges a végtelen sor összegzéséhez. A feladat érdekessége viszont, hogy van egy trükkös elemi megoldás. A légy mozgásától ugyanis teljesen független az, hogy a két kerékpáros mikor fog találkozni, amit nagyon egyszerűen ki tudunk számolni. Mivel pedig a légy ezalatt az idő alatt végig egyenletes sebességgel repül, ezért a fordulások számától függetlenül a légy által megtett teljes utat úgy tudjuk kiszámolni, hogy a kapott időt megszorozzuk a légy sebességével.

Az anekdota szerint amikor Neumann Jánosnak elmondta valaki ezt a feladatot, ő néhány másodpercen belül válaszolt. Mindenki azt hitte, hogy Neumann ismeri a trükköt, de rákérdeztek, és állítása szerint csak összegezte a végtelen sort. Nos, Neumann szeretett viccelődni, így nem tudhatjuk, hogy valóban pillanatok alatt elvégezte-e az összegzést, vagy csak gyorsan átlátott a szitán, és megtréfálta a kérdezőt. Viszont a villámgyors számolás sem állt távol tőle: kora leggyorsabb gondolkodású zsenijének tartották, és elképesztő gyorsaságáról mindenki megemlékezett, aki személyesen ismerte. Wigner Jenő azt mondta róla, hogy ,,sok nagy tudóssal találkoztam életemben, nagyon sokkal, de nem ismerek senkit, aki olyan gyors, olyan éles eszű lett volna, mint Neumann János." Ráadásul már diákkorában is megmutatkozott gyors és lenyűgöző gondolkodása. Amikor Pólya György Zürichben egy haladó szemináriumot tartott diákok számára, egy bizonyos állításhoz érve megjegyezte, hogy ez még nem bizonyított, és lehetséges, hogy nehéz a bizonyítása, de Neumann öt perc elteltével jelentkezett, és felírta a táblára a bizonyítást.

Mármost az általunk kitűzött példa a legyeshez hasonló volt, csak nem három-, hanem ötszereplős. A feladat szerint apa és anya 120 méterre vannak egymástól, és egymás felé sétálnak az őket összekötő egyenes vonalon. Mindketten 2 km/óra sebességgel haladnak. Amikor elindulnak, a legkisebb gyerek apa mellett van, és rollerrel ő is elindul anya felé, mégpedig 5 km/óra sebességgel. A középső gyerek anya mellől indul apa felé görkorcsolyával, 8 km/óra sebességgel. A legnagyobb gyerek pont félúton van a két szülő között, és kerékpárral anya felé indul 12 km/óra sebességgel.

Ha a gyerekek valakivel találkoznak az úton (akár az egyik szülővel, akár valamelyik testvérükkel), rögtön megfordulnak, és az ellenkező irányba folytatják az utat, tehát soha nem mennek el egymás mellett. A szülők nem fordulnak meg, ők végig egyenesen haladnak a másik szülő felé. Tegyük fel, hogy a fordulások mindig pillanatszerűek, és mindenki végig megtartja sebessége nagyságát, egészen addig, amíg egy közös pontban nem találkoznak. Tekintsük a járgányokat és a családtagokat pontszerűnek. Mekkora utat tesznek meg a gyerekek külön-külön a közös találkozásig?

Mivel mindkét szülő 2 km/óra sebességgel halad, és egymással szembe mennek, ezért a köztük lévő 0,12 km távolság 4 km/óra ütemben fogy, vagyis 0,12/4 = 0.03 óra = 108 másodperc múlva találkoznak. Ez alatt az idő alatt a gyerekek folyamatosan, állandó sebességgel haladnak, tehát a rolleres gyerek megtesz 0,03 óra × 5 km/óra = 0,15 km = 150 métert, a görkoris gyerek megtesz 0.03 óra × 8 km/óra = 0,15 km = 240 métert, a kerékpáron ülő gyerek pedig megtesz 0.03 óra × 12 km/óra = 0,15 km = 360 métert összesen a közös találkozásig.

Azt, hogy a közös találkozásig végtelen sokszor fordulnak a gyerekek, a következőképpen láthatjuk be. Mivel a legnagyobb gyerek gyorsabban halad a szülei összesített sebességénél, és legfeljebb akkora távolságot kell megtennie két találkozás között, mint a szülei távolsága, ezért mindig hamarabb fog találkozni valakivel, mint hogy az egész család egy pontba érne, ami csak úgy lehetséges, ha végtelen számú találkozásban vesz részt, persze egyre sűrűsödő időpontokban. Mivel pedig ezek a találkozások a testvéreivel történnek, hiszen a másik két gyerek mindig közrefogja, ezért az ő találkozásaik és fordulásaik száma is végtelen sok lesz.

Kapcsolódó cikk a Qubiten: