Ész Ventura: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ... 98 99 100, és már csak húzni kell!

Támogasd a tudomány népszerűsítését, segítsd a munkánkat!

Egy hosszú szám című feladványunkban az alábbi hosszú számot írtuk fel 1-től 100-ig egymás mögé írva az egész számokat:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ... 98 99 100.

A feladat az volt, hogy húzzuk ki a felírt számjegyek felét úgy, hogy a szám, amit összeolvashatunk a megmaradó számjegyekből, a lehető legnagyobb legyen.

Először számoljuk meg, hány számjegyű ez a hosszú szám. Van benne 9 egyjegyű szám, 90 kétjegyű szám és a végén egy háromjegyű szám, ez összesen 9×1 + 90×2 + 1×3 = 192 számjegy, aminek a fele 96, tehát 96 számjegyet kell kihúznunk úgy, hogy a megmaradó szám a lehető legnagyobb legyen. Mivel a megmaradó szám mindenképpen fixen 96 jegyű lesz, ezért akkor kapjuk a legnagyobbat, ha a lehető legtöbb 9-es van az elején, tehát elsőként a szám elejéről kell kitörölni mindent, ami nem 9-es. Ez azt jelenti, hogy kitöröljük 1-től 8-ig az egyjegyűeket, ez 8 törölt számjegy, aztán 10-től 18-ig a kétjegyűeket és még a 19-es számnak az első jegyét, ez még 19 törölt számjegy, majd hasonlóan törlünk 20-29 között 19 számjegyet, 30-39 között újabb 19-et, végül 40-49 között még 19-et. Eddig tehát töröltünk összesen 8+19+19+19+19 = 84 számjegyet, és törölni kéne még 12 jegyet. A szám eddig így néz ki:

9 9 9 9 9 50 51 52 53 54 55 56 ... 98 99 100.

Nézzük, mi lehet az első nem 9-es számjegy, ami a hatodik helyen lesz. Ez a számjegy sajnos nem tud legalább 6 lenni, mert a legközelebbi hatos előtt több, mint 12 számjegy van, amik mind 6-nál kisebbek. A hatodik helyen tehát maradhat az 5-ös számjegy, nem kell kihúznunk. A 7. helyre viszont már kerülhet 6-os, ha mindent kihúzunk az első hatos számjegyig, és ez a legjobb, amit tehetünk, ami pedig ezek után marad, az alábbi: 

9 9 9 9 9 56 57 58 … 98 99 100.

A feladatot Johannes Lehmann-nak a Gondolat Zsebkönyvek sorozatban 1976-ban megjelent Furfangos matematika című könyvének Mindenütt természetes számok című fejezetének 13. feladata inspirálta.

Kapcsolódó cikk a Qubiten: