Ész Ventura: Sikerült kiszámolni, mennyi dezinformációt terjeszthet egy ország?

A politikusokat tényekkel kell szembesíteni. A tudomány tényeket gyárt. Segíts minél többet publikálni belőlük!

Dezinformációk című feladványunkban egy olyan országról volt szó, amelynek a kormánya mindig dezinformációkat közöl. A feladat szerint a dezinformáció mindig két állítás, amely közül az egyik igaz, a másik pedig hamis. A dezinformáció célja, hogy egy igaz háttérinformáció hitelesítsen egy hamis információt.

Tegyük fel, hogy N = 7 egymástól független állítás van, amiből a dezinformációkat össze lehet állítani, vagyis ezen állításokat és tagadásukat lehet használni. Egy állítást és saját maga tagadását persze nem lehet összetenni, és tegyük fel azt is, hogy az állításokból bonyolultabb állítások sem képezhetők (például és/vagy kötőszavakkal), csakis önmagukban használhatjuk őket, vagy a tagadásukat.

Ezen kívül, ha egy dezinformáció tartalmaz egy állítást, akkor egy másik dezinformáció nem tartalmazhatja ugyanannak az állításnak a tagadását, tehát a dezinformációknak látszólag összhangban kell lenniük egymással. Továbbá teljesülnie kell annak is, hogy aki hisz a dezinformációk mindegyikének, az az N állítás többségéről higgye a hazugságot.

A kérdés az volt, hogy mennyi a legtöbb dezinformáció, amit az ország terjeszthet, ha az fentieket mind szem előtt tartják.

Megoldás tetszőleges N-re

A feladat szerint az elemi állításokat koherens módon használják, tehát minden állítást vagy igaz vagy hamis formában. Legyen az igaz állítások száma I, a hamis állítások száma H. Mivel egy dezinformáció egy igaz és egy hamis állításból áll, ezért a lehetséges dezinformációk száma I×H. Ez akkor maximális, ha minden állítást használunk, azaz I+H = N, továbbá I és H a lehető legközelebb van N feléhez (ez a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenségből következik, de ilyen kis N értéknél ellenőrizhető úgy is, hogy minden lehetőséget végigpróbálunk).

Mivel jelen esetben N páratlan, ezért az egyik (N+1)/2, amásik (N-1)/2 kéne legyen. A feladat még azt is kiköti, hogy H legyen a nagyobb, ezért I = (N-1)/2 és H = (N+1)/2. Ez általános esetben is igaz minden páratlan N esetében, a feladatban szereplő N = 7 esetében pedig azt kapjuk, hogy I = 3, H = 4, és így a dezinformációk maximális száma 12. Ha N páros lenne, akkor I = H = N/2 esetén lenne maximális I×H, de a feladat szerint H > I, ezért a legjobb választás az  I = (N-2)/2 és H = (N+2)/2 lesz.

A végső kérdés már csak az, hogy tudunk-e a sorok között olvasni. Ha az összes lehetséges dezinformációt már közölték, akkor igen, mert az állítások két ellentétes igazságtartalmú csoportra oszthatók egyértelműen, és tudni fogjuk, hogy a nagyobb csoportban lesznek a hamis állítások. Ha viszont nem közlik az összes lehetséges dezinformációt, csak egy részüket, akkor előfordulhat, hogy nem tudunk mindent dekódolni, hiába tudjuk, hogy több a hamis állítás. Ez úgy fordulhat például elő, ha van egy kisebb részhalmaz, ami teljesíti a feladat feltételeit, például veszünk N = 5 esetén egy teljes dezinformációs rendszert, majd ehhez hozzáteszünk még egy olyan dezinformációt, amely két korábbiaktól teljesen független állításból áll.

Így kapunk N = 7 esetére egy rendszert, ami továbbra is teljesíti a feladat feltételeit, de az új dezinformációban szereplő állításokról nem fogjuk tudni, hogy melyik közülük az igaz és melyik a hamis.