Ész Ventura: Megtaláltad a kakukk-képletet?

A politikusokat tényekkel kell szembesíteni. A tudomány tényeket gyárt. Segíts minél többet publikálni belőlük!

Kakukk-képlet című feladványunkban az volt a kérdés, hogy melyik matematikai képlet a kakukktojás az alábbiak közül.

Illusztráció: Gáspár Merse Előd

A képletektől könnyen megrettenhetett a kedves olvasó, de a megoldáshoz nagy segítség volt, ha észrevette, hogy a feladvány a pí napon, azaz március 14-én (3.14.) került kitűzésre. Ebből könnyen meg lehetett sejteni, hogy ezek a képletek egy kivételével mind π-t adnak eredményül határértékként, és egy kis internetes kereséssel matematikai tudás nélkül is könnyen beazonosíthatók voltak a képletek. Nézzük őket sorban.

  • Viète-formula (1593). A képlet a kör sokszögekkel való közelítéséből vezethető le. A képletet sokan a matematikai analízis – és egyben a modern matematika –kezdetének tekintik, mert ez volt az első végtelen szorzat a matematikában, és egyúttal az első explicit képlet π pontos értékére. Segítségével Viète π értékét 10 tizedesjegyig számolta ki annak idején.
  • Bailey–Borwein–Plouffe formula (1995). A formula alapján π hexadecimális számjegyei közvetlenül, azaz külön-külön meghatározhatók. Ez nagy meglepetésnek számított, mert korábban azt gondolták, hogy π valhányadik számjegyét csak akkor lehet meghatározni, ha már a korábbiakat meghatároztuk, vagy legalábbis éppoly nehéz valahányadik számjegyét meghatározni, mint az összes korábbit.
  • Rámánudzsan–Sato sorozat (1987). Rámánudzsan egy indiai matematikus zseni volt, vagy inkább látó, akit G. H. Hardy fedezett fel. Tömegével látott meg olyan képleteket, amelyek csodaszámba mentek, meglátásait pedig nagy matematikusok próbálták bizonyítani, és még ma is van számos olyan köztük, amelyek bizonyításra várnak. Ez a píre vonatkozó képlete nagy lökést adott a pí számjegyeinek számítógépek által történő kiszámításához, mert a képletnek egy tagja egyszerre 8 jegyét generálja π-nek.
  • Csebisev-sorokból (1957).
  • Wallis-szorzat (1656). Bár a konvergenciája lassú, de ez volt az első végtelen szorzat, ami racionális törtek szorzataként állította elő a π-t. A képlet levezetéséhez integrálszámítás használatos.
  • Az úgynevezett Khinchin-állandó képlete – ez a kakukktojásAleksandr Yakovlevich Khinchin bizonyította azt a nagyon érdekes tételt, hogy ha egy tetszőleges valós számot reguláris végtelen lánctört alakban írunk fel, akkor a lánctörtben szereplő egész számok mértani közepe szinte mindig a Khinchin-állandóhoz tart, melynek közelítő értéke 2,685452.
  • Jonathan Sondow (1943–2020) egy érdekes formulája π-re 1997-ből, ami a Wallis-féle formulán alapul, csak kissé át lett alakítva.
  • William Brounckernek, a Royal Society első elnökének végtlen lánctörtje π-re.