Igaza van Tóbiásnak?

Vigyázat, a 0-ás és 9-es számjegyek különlegesek! Érdemes szétválasztani a számkombinációkat aszerint, hogy ezek a számjegyek hogyan fordulnak elő a számkombinációk kétjegyű számaiban!

Mivel az ötöslottón öt számot húznak ki és tíz különböző számjegy van, ezért minden számnak kétjegyűnek kell lennie. A 0-ás számjegy viszont csak hátul szerepelhet, a 9-es számról pedig azt tudjuk, hogy csak akkor szerepelhet elől, ha az egyik szám a 90-es, ugyanis ez a legnagyobb kihúzható szám az ötöslottón. Érdemes ezért két esetet megkülönböztetni aszerint, hogy az öt szám között szerepel-e a 90-es szám, vagy sem.

Ha szerepel, akkor ebben az esetben az 1-től 8-ig terjedő számjegyekből kell még négy darab kétjegyű számot készítenünk. Vehetjük a legkisebb 1-es számot, ennek hét másik számjegy lehet a párja. A maradék számjegyekből véve a legkisebbet, annak a párját már csak ötféleképpen választhatjuk ki, és így tovább. A nyolc számjegyet tehát 7×5×3×1 = 105 féleképpen lehet párosítani, viszont minden pár esetében két lehetőség van aszerint, hogy a kisebbik vagy a nagyobbik számjegyet írjuk előre, tehát 210 olyan szelvényt kell kitöltsön Tóbiás, amiben az egyik szám a 90-es.

Ha viszont a 9-es és a 0-ás számjegyek külön számokban szerepelnek, akkor mindkét számjegynek hátul, azaz az egyes helyiértéken kell szerepelnie. Előttük bármi lehet a maradék nyolc számból, de ha az egyik elé választunk valamit, akkor a másik elé már csak hétből választhatunk, ez tehát 8×7 = 56 kombináció. A maradék három darab kétjegyű számra pedig marad hat számjegy, amit az előzőekhez hasonlóan 5×3×1 = 15 féleképpen lehet párosítani, és megint mindegyik esetében van két lehetőség a sorrendre, vagyis az összes lehetőség ebben az esetben 56×30 = 1680.

Így tehát mindent összevéve Tóbiásnak 1680+210 = 1890 darab szelvényt kell kitöltenie hetente.

Abban nincs igaza Tóbiásnak, hogy a különböző számjegyekből álló kombinációk gyakoribbak lennének, mint mondjuk az olyanok, amikor mind az öt szám ugyanazzal a számjeggyel kezdődik. A kezdő számjegy ugyanis nyolcféle lehet, és ennek rögzítése után 10 alatt az 5 féle, azaz 252 féle módon tudunk öt hátsó számjegyet választani, ha csak a kétjegyű számokat tekintjük, és ez így már összesen 8×252 = 2016 lehetőség, de az egyjegyű számok miatt még ennél is több valójában a lehetőségek száma. Abban meg pláne nincs igaza, hogy az esélyeit a főnyereményre bármilyen kitöltési stratégiával növelni tudná.

Átlagosan 43949268/1890 ≈ 23254 hetente, azaz 447 évente jönnek ki olyan számok, hogy azokban minden számjegy szerepel. Türelmes Tóbiásnak tehát nagyon türelmesnek és hosszú életűnek kell lennie, ha meg akarja ütni a főnyereményt!