Van még ilyen különleges szám?
Az 1975-ös kiadású, Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné által írt Játékos matematika című könyvben találtam ezt a feladványt, aminek most jött el az ideje.
227. feladvány: A kettétört évszám
A 2025 egy különleges évszám, mert ha kettétörjük két darab kétjegyű számra, és a részek összegét négyzetre emeljük, akkor az eredeti számot kapjuk vissza: (20+25)2 = 2025. Van még ilyen négyjegyű szám?
Tipp chevron_down
A keresett négyjegyű szám egy négyzetszám, amit a2 alakban írhatunk. Ha a szám első feléből alkotott kétjegyű számot x-nek, a második feléből alkotott kétjegyű számot y-nak nevezzük, akkor a különleges tulajdonságból adódóan tudjuk, hogy x + y = a, másrészt a négyjegyű szám 100·x + y = a2. Itt persze meg kell jegyezni, hogy y esetében az egyjegyű számok is megengedettek, amikoris nulla az y első számjegye.
Megoldás chevron_down
A tippnél felírt első egyenletből y = a - x adódik, amit a másik egyenletbe helyettesíthetünk, és így kapjuk, hogy 100·x + a - x = a2, azaz 99·x = a·(a-1). Mármost a bal oldalt osztja 99, tehát a jobb oldalt is osztania kell 99-nek, amiből következik, hogy 11-nek osztaniai kell vagy a-t, vagy (a-1)-et. Mivel viszont a2 négyjegyű szám, ezért a-nak az értéke maximum 99 lehet. Elegendő tehát végignézni az a = 11, 22, 33, ..., 99 és (a-1) = 11, 22, 33, ..., 88 eseteket. Azt kapjuk, hogy a·(a-1) csak akkor lesz osztható 99-el, ha a = 45 és a-1 = 44, vagy a = 55 és a-1 = 54, vagy a = 99 és a-1 = 98. Ezekből pedig rendre az alábbi megoldások adódnak a különleges tulajdonsággal rendelkező négyjegyű számokra: 2025, 3025 és 9801.
Tehát a legközelebbi ilyen különleges alkalomig pontosan ezer évet kell várnunk!
Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.