Táncos a sötétben

Bizonyára mindenki ismeri a klasszikus feladványt, amikor egy fiókban 10 pár fehér és 10 pár fekete zokni hever párosítatlanul – ami nem túl életszerű ugye –, és az a kérdés, hogy hány zoknit kell kivenni látatlanban ahhoz, hogy biztosan legyen közöttük egyszínű pár. A feladatban szereplő mezítlábas nyilvánvalóan látássérült, vagy a zoknijait a gyerekei hálószobájában tartja, akiket nem akar felébreszteni, ezért sötétben tapogatózik. Így mondjuk érthető, hogy miért vannak összedobálva a zoknik.

Vigyázat, a feladat nem összetévesztendő azzal, amikor zoknik helyett cipőkről van szó! Miért is? Hát azért, mert a zokniknál elég, ha két egymáshoz passzoló színt találunk, amihez elég három zoknit kivenni, abban már biztosan lesz két egyforma szín. A cipők esetében viszont nehezítő körülmény, hogy a cipők fele bal lábra, másik fele jobb lábra való, ilyen módon akár 20 cipőt is kivehetünk úgy, hogy nincs közöttük pár, például 10 fehér bal lábra valót, és 10 fekete jobb lábra valót. Na de mi van akkor, ha nem azt kérdezzük, hogy mennyit kell kivenni, hogy biztosan legyen pár, hanem arra vagyunk kíváncsiak, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy lesz pár, ha adott mennyiséget kiveszünk. Ha például kiveszünk 21 darab cipőt, akkor már 100%, hogy lesz közöttük egyszínű pár. Mi a helyzet, ha kevesebbet veszünk ki? Erről szól az alábbi feladvány.

233. feladvány: Balettcipők

Egy balett-táncosnak 10 egyforma pár fehér és 10 egyforma pár fekete balettcipője van a gardróbban. Egy kis földrengés következtében összekeveredtek a cipők és elment az áram. A táncos a sötétben felnyalábol annyi cipőt, amennyit tud, hogy el tudjon indulni az esti előadásra. Mekkora a valószínűsége annak, hogy lesz közöttük legalább egy fehér vagy egy fekete pár, ha 10 (fél pár) cipőt sikerült felnyalábolnia?

Tipp chevron_down

A valószínűséghez a kedvező esetek számát és az összes eset számát kell meghatároznunk. Jelen esetben viszont célszerűbb a kedvezőtlen eseteket megszámolni, amit aztán kivonva az összes esetből megkapjuk a kedvező esetek számát. Ez egy ismert trükk, gyakran előfordul ugyanis az, hogy a minket érdeklő eseteket nehéz megszámolni, de a komplementer halmazt sokkal könnyebb.

Megoldás chevron_down

Az összes esetek száma, ahogyan 40 fél pár cipőből ki tudunk választani 10-et, az ún. 40 alatt a 10 kifejezés (ismétlés nélküli kombinációk száma), ami nem más, mint

(40·39·38·37·36·35·34·33·32·31) / (10·9·8·7·6·5·4·3·2·1) = 847660528.

Az, hogy 10 fél pár cipő között nincs összeillő pár, az úgy lehet, hogy vagy csupa fehér balos és fekete balos cipőink vannak, vagy csupa fehér balos és fekete jobbosak, vagy csupa fehér jobbos és fekete balosak, vagy csupa fehér jobbos és fekete jobbosak. Az a lényeg, hogy nem lehet egy színből balos és jobbos is. A fenti négy eset mindegyikében 20 fél pár cipő közül választhatunk tetszőlegesen 10-et, hogy megkapjuk azokat az eseteket, amikor nincs összeillő pár. Ez esetenként 20 alatt a 10, ami

(20·19·18·17·16·15·14·13·12·11) / (10·9·8·7·6·5·4·3·2·1) = 184756.

Összesen tehát 4 × 184752 = 739024 lenne a rossz esetek száma, de ebből még ki kell vonnunk 4-et, mert kétszer számoltuk azokat az eseteket, amikor csupa egyforma cipőket húzunk ki, például csupa fehér balost, hiszen ez a négy esetből kettőben is szerepel. A jó esetek száma tehát, amikor van összeillő pár: 847660528 - 739020 = 846921508. A keresett valószínűség pedig 846921508/847660528 ≈ 0,999, vagyis szinte biztos, hogy lesz pár.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.