A Hanoi tornyai nevű játékkal nagy valószínűséggel mindenki találkozott már. Ma is árulják játékboltokban, rengeteg matematikai és fejtörős könyvben szerepel, és a számítástechnika oktatásában is gyakran előkerül. Keleties neve, különös legendája és gyakori felbukkanása alapján könnyen hihetnénk, hogy több ezer éves, ősi játékról van szó. Valójában 1883-ból származik, egy francia matematikus, Édouard Lucas találmánya.

Lucas ráadásul nem is a saját nevén mutatta be a Hanoi tornyait, hanem egy bizonyos N. Claus de Siam professzornak, a Li-Sou-Stian kollégium tudósának tulajdonította a játékot. A rejtélyes professzor és iskolája azonban sohasem létezett, mindkét név anagramma. Az előbbi a „Lucas d'Amiens”, az utóbbi pedig a párizsi „Saint-Louis” iskola nevének betűiből áll össze.

A játékhoz egy érdekes történet is tartozott. A legenda szerint az indiai Benáresz egyik templomában szerzetesek a világ teremtése óta dolgoznak egy hatalmas feladaton. Három gyémánttű között kell áthelyezniük egy 64 aranykorongból álló tornyot, mégpedig úgy, hogy egyszerre csak egy korongot mozgathatnak, és nagyobb korong sohasem kerülhet kisebb fölé. Amikor az utolsó korong is a helyére kerül, a templom porrá omlik, és véget ér a világ.

Aggodalomra azonban semmi ok. A matematikusok régóta tudják, hogy n korong esetén a legkevesebb szükséges lépés száma 2ⁿ − 1. A legendabeli 64 korong áthelyezéséhez ezért 18 446 744 073 709 551 615 lépésre lenne szükség. Ha a papok másodpercenként egy korongot mozgatnának, éjjel-nappal, megállás nélkül, akkor is mintegy 585 milliárd évre volna szükségük. A világvége tehát még odébb van, de addig is nézzük mi a helyzet, ha a korongokat pénzérmékre cseréljük, és egy kicsit variálunk a feladaton!

322. feladvány: Érmetornyok forintból

Vegyünk elő három-három darab 100, 50, 20, 10 és 5 forintos érmét, vagyis összesen 15 darab pénzérmét 555 forint értékben, majd rakjuk őket egyetlen oszlopba, méretük szerint csökkenő sorrendben. Legalulra kerüljenek a legszélesebb érmék, azaz a három darab 50-es, rájuk a 20-asok, azokra a 10-esek, majd a három 100-as, végül legfelülre a három 5-ös. Figyelem: a sorrend nem elírás, a 100 forintos érme átmérője valóban kisebb a 10 forintosénál.

A feladat az, hogy ebből az egyetlen oszlopból három egyforma tornyot alakítsunk ki, mindegyikben öt érmével: legalul egy 50-essel, rajta egy 20-assal, egy 10-essel, egy 100-assal, legfelül pedig egy 5-össel, tehát mindegyik toronyban méretük szerint szigorúan csökkenő sorrendben legyenek az érmék.

A mozgatás során a következő szabályokat kell betartanunk:

• Mindvégig legfeljebb három oszlopunk lehet. Negyedik ideiglenes kupacot nem használhatunk.
• Egy lépésben az egyik oszlop tetejéről akár több, egymáson fekvő érmét is átemelhetünk egy kupacban egy másik oszlopra, de az átemelt érmék sorrendjét nem változtathatjuk meg.
• Nagyobb átmérőjű érme sohasem kerülhet kisebb átmérőjűre. Egyforma méretű érmék viszont egymásra helyezhetők.
• Az egyszerre átemelt érmék összértéke nem haladhatja meg a 100 forintot!

Például egy 100 forintost csak önmagában mozgathatunk, három 10 forintost és három 5 forintost viszont akár egyetlen mozdulattal is átemelhetünk, hiszen együttes értékük csak 45 forint.

Megoldható-e a feladat 31 lépéssel?

Tipp

A legkisebb érmék sokáig maradhatnak egymáson, úgyis együtt tudjuk őket mozgatni. Célunk a talapzatok kialakítása. Eközben a 100 forintosokat többször át kell mozgatni, és azokat csak egyesével tudjuk, ezért jól meg kell gondolni, hogy mikor és hova mozgatjuk őket!

Megoldás

31 lépéses megoldás első 30 lépése:

Az utolsó lépés már egyértelmű, azt nem rajzoltuk be. Figyelem: a kép homályos lehet, de ha teljesen betöltődik, akkor már élessé válik!

Ha szereted a fejtörőket, tekintsd meg korábbi feladványainkat is. Ha megjegyzésed lenne, vagy feladványt javasolnál, írj az eszventura@qubit.hu e-mail címre. Ha pedig tetszik a rovat, akkor ezt a Vendégkönyvben kifejezésre juttathatod.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.