Démokritosz és a kvantumfizika

Se szeri, se száma az ókori görög filozófusoknak, akik évszázadokkal, sőt inkább évezredekkel előzték meg a modern kor tudományos és technikai vívmányait, pedig eszközük csupán a logikus gondolkozás volt. Vajon hova jutottak volna, ha rendelkeznek azokkal a korszerű eszközökkel, amelyekkel a mai tudomány dolgozik?

Démokritosz és Newton

Folytonos-e az anyag, vagy léteznek tovább már nem osztható építőkövei? A görög filozófus, Démokritosz időszámításunk előtt az 5-4. században jutott el arra a gondolatra, hogy az anyag nem osztható fel végtelenül kis elemekre, és bevezette az atom fogalmát. Más felfogást képviselt a 17-18. századi angol fizikus, Isaac Newton, akinek a modern fizika megszületése köszönhető, amikor a mechanikában a differenciálszámítást bevezette. Az általa használt matematikai eljárásnak az alapja ugyanis a folytonosság. A folytonosságot szemléltethetjük a végtelenül sima lejtővel, amit szembeállíthatunk a lépcsőzetes változással. Ez előbbi azt jelenti, hogy határtalanul kis szakaszokra bonthatjuk fel a teret, az időt vagy az energiát. Később ezen az alapon születtek meg az elektrodinamika alapegyenletei is, amelyet a 19. századi skót matematikus-fizikus, James Clerk Maxwell öntött végső formába négy differenciálegyenlet formájában. Szintén a folytonosság koncepciójára épültek a termodinamika alapegyenletei.

A kémia atomfogalma és Planck kvantum koncepciója

Evvel szemben a kémia Démokritosz felfogását követte az anyagok szerkezetének tanulmányozásakor, amikor az angol John Dalton (1766-1844) nyomán bevezette a kémiai atomok fogalmát, amivel magyarázni lehetett a molekulák összetételét. Ezt a felfogást erősítette a XX. század fordulóján Planck korszakalkotó gondolata is, amikor megoldást keresett a termodinamika fekete test sugárzási törvényének ellentmondására, ami abból az elvből fakadt, hogy a fény intenzitása minden határon túl csökkenthető. Planck felvetette, hogy ez nem így van, hanem van egy legkisebb energiaadag, amely arányos a frekvenciával: E = h·f. Az impulzusnyomaték dimenziójú h konstanst később róla nevezték el, ez a Planck-állandó. A kvantumos változást támasztotta alá az a megfigyelés is, hogy a gázok atomjainak spektrumában diszkrét vonalak jelennek meg, azaz a fény frekvenciája sem folytonosan változik.

Az atomnál kisebb elemi objektumok a modern fizikában

Planck felismerésével csaknem egy időben lépett előre a mikrovilág fizikája a radioaktivitás felfedezésével, mert kiderült, hogy az atom is tovább osztható, az atommagra és elektronokra. Ez nem jelentette az atomkoncepció bukását, csak egy mélyebb szint bevezetését a mikrovilágban, ahol ez a még kisebb objektum az elemi részecske elnevezést kapta. A XX. század közepére az is kiderült, hogy nagy számú eleminek tartott részecske létezik: ezek rendszerezésére vetődött fel a kvark koncepció. Ebben az elméletben az addig eleminek tartott részecskék (összefoglaló néven hadronok, például a protonok és neutronok) két vagy három komponensből épülnek fel. A jelenlegi fizikai világképünket összegző Standard Modell szerint ezzel már eljutottunk az anyag végső építőköveihez, melyek már nem oszthatók tovább.

Stacionárius állapotok Bohr atommodelljében

De térjünk vissza a XX: század első harmadára, amikor az atomok belső világát kellett megérteni. Itt a 19. század végén született dán fizikus, Niels Bohr tette meg az első fontos lépést, amikor az atomot miniatűr naprendszernek képzelte el, melyben a negatív töltésű elektronok bolygók módjára keringenek a pozitív atommag körül. A diszkrét energiájú sugárzást avval magyarázta, hogy léteznek stacionárius elektronpályák, melyek között ugrások jönnek létre. Ez a feltételezés ellentmondott a klasszikus elektrodinamikának, ahol minden gyorsuló töltésmozgás sugárzás kibocsátását idézi elő. Az atommodellben két szakaszra bomlik fel az elektronok mozgása: van egy olyan pálya, amelyben nincs sugárzás, majd történik egy ugrás egy másik pályára sugárzás kibocsátása közben. A Bohr-modellben a démokritoszi koncepció új szintre emelkedett, itt már nem csak az anyagnak vannak legkisebb építőkövei, hanem az energia is lépcsőkben változik, továbbá a mozgás is felbomlik két szakaszra az ugrás előttire és az ugrásra.

Fizikai mennyiségek megváltozott szerepe a kvantummechanikában

Bohr modellje azonban csak a hidrogén atomot tudta leírni, szükség volt emiatt egy átfogó elméletre, amelyet aztán az osztrák Erwin Schrödinger és a német Werner Heisenberg alkotott meg: ez a kvantummechanika. A feladat az volt, hogy találjunk egy olyan matematikai formalizmust, amely egyrészt képes a nem-sugárzó stacionárius állapot leírására, másrészt számot ad az ugrásokról is. Ezt oldotta meg az operátorkalkulus, amely a függvények átalakításán alapul. Amíg a függvény két, esetleg több számot rendel egymáshoz, addig az operátor ugyanezt a függvények között teszi meg. A kvantummechanikában valamilyen függvénnyel jellemezzük a stacionárius állapotot, és a függvényeket átalakító operátor írja le a fizikai mennyiségeket, például az energiát és impulzust. Itt a hangsúlyt ne a matematikára helyezzük, hanem a megváltozott fizikai szemléletmódra. A fizikai mennyiségek már nem passzív leírói a mozgásnak, hanem az állapot megváltoztatásának, vagy megtartásának „felelősei”. Kétféle alapvető változtatásról beszélhetünk, az egyik az időben, a másik a térben változtat meg valamit. Matematikailag az időbeli változást a d/dt differenciáloperátor, a térbelit d/dx, d/dy és d/dz írja le. Az első felel meg az energiának, a második az impulzusnak, ha a differenciálhányadosokat szorozzuk a redukált Planck-állandóval: ħ = h/2π és az i imaginárius egységgel. Lásd erről részletesen: Rockenbauer Antal: A kvantummechanikán innen és túl. A fénysebességű forgás koncepciója. Scolar Kiadó, 2017.

Mi a diszkrét kvantumok eredete?

A kvantummechanika összekapcsolja a newtoni folytonossági elvet a démokritoszi atom koncepcióval. Maga a tér és idő folytonos marad, hiszen csak így képezhetjük az energia és impulzus operátorát, amelyek azonban felvehetnek diszkrét értékeket is, amit a formalizmus sajátértéknek nevez. Gondoljuk végig, miért is lép fel a kvantum a mikrovilágban? Az elektronok ott „köröznek” valahogy az atommag körül, de közben nem sugároznak! Kibocsátott foton híján erről a mozgásról nincs információnk, tehát nem tudjuk megmondani, hogy egy adott időben az elektron épp hol van. Eltérően a keringő bolygók pályájától, amit pontról pontra végigkövethetünk, az elektronok pályájánál ez nem tehető meg, csak a pályáról mint egészről mondhatunk valamit. Keringő vagy forgó mozgásról lévén szó, a pályához impulzusnyomatékot rendelhetünk. Ennek operátor definíciója szintén egy differenciálhányadoshoz kapcsolódik, amit a forgási szöggel képezhetünk, megszorozva a már említett iħ faktorral. A forgási szög értelmezési tartománya véges, mert 360 fokos (2π radián) forgás után az eredeti irányt visszakapjuk, szemben az idő és tér végtelenig kiterjedő tartományaival. Az ismétlődő forgási állapot a kvantum alapja. Amikor az elektron szabad térben mozog, nincs ismétlődés, viszont az atomban a keringő mozgás ismétlődések sorozata. A keringő mozgás megmaradási mennyisége az impulzusnyomaték, amely diszkrét értékeket vesz fel amiatt, hogy csak a teljes fordulatokról mondhatunk bármit is. Az operátorkalkulusból az adódik ki, hogy ezek a diszkrét értékek a redukált Planck-állandó egész számú többszörösei, azaz L·ħ, ahol L = 0, 1, 2 … . Az L kvantumszám az elektronpályák szimmetriájától függ. Ha a pálya 2π szögű forgás után megy át önmagába, akkor L = 1, de léteznek magasabb szimmetriájú pályák, amikor gyakoribb az ismétlődés. Ha a pálya már π szögű (180 fok) forgásnál (félfordulat) ismétli önmagát, akkor L = 2, ha 2π/3 (120 fok) elforgatás után, akkor L = 3 lesz a kvantumszám. De lehet L nulla is, amikor a mozgási pálya nem függ az iránytól.

Az elemi részecskék saját impulzusnyomatéka, a spin

Az elektron pályamozgáson kívül rendelkezik saját impulzusnyomatékkal is, amelynek értéke a redukált Planck-állandó fele, azaz ħ/2, ami az S = ½ spinnek felel meg. A foton is rendelkezik ħ saját impulzusnyomatékkal, azaz S = 1 spinnel. A szimmetriaelv alapján ezt úgy értelmezhetjük, hogy amíg foton forgási szimmetriája a kör 2π szögére vonatkozik, az elektronnál 4π szögű elfordulás, azaz két teljes fordulat kell az ismétlődéshez. Az utóbbit felfoghatjuk úgy is, hogy az elektron nem egyetlen tengely körül forog körbe, hanem kettő körül, bejárva a gömbfelület minden irányát, amely radiánban kifejezve 4π nagyságú tartományt alkot.

A kötött állapotú elektron diszkrét energianívói

A részecskék diszkrét impulzusnyomatékával magyarázhatjuk, hogy az atomban kötött elektron energiája miért vesz fel diszkrét értékeket. Szemléltessük ezt az űrállomáson dokkoló űrhajó példájával. A sima dokkolás érdekében rakéták kibocsátásával igazítják az űrhajó pályáját az űrállomás mozgásához. Hasonló történik az elektronnal is, ha a távolból közelít a pozitív töltésű atommaghoz. Az elektromos vonzás miatt közeledik az elektron, miközben a töltés gyorsulása, vagy lassulása miatt „fotonrakétákat” bocsát ki. Minden egyes kibocsátott vagy elnyelt foton egységnyi spinnel rendelkezik, amiért az elektron impulzusnyomatéka is ħ egységekben változik. Emiatt az elektron a landolás után olyan pályára kerül, ahol az impulzusnyomaték ħ egész számú többszöröse lesz, amihez pedig diszkrét energiaérték tartozik. Tehát nem általában az energia változik ugrásokban, hanem csak a kötött állapotú elektron energiája vesz fel diszkrét értéket a fotonok által előidézett impulzusnyomaték változás miatt. Hasonló a helyzet ahhoz, amikor feltöltünk egy víztartályt. Ebben a víz szintje folytonosan változhat, de ha mindig egész vödörnyi vizet öntünk bele, lépcsőzetesen változik a víz magassága.

Kvantum-elektrodinamika és mezőelméletek

A kvantumelmélet magasabb szintjét képviseli a kvantum-elektrodinamika, amely már egységben kezeli a fotonok és elektronok egymásba alakuló rendszerét. Az elmélet minden fotonhoz és elektronhoz oszcillátorokat rendel, amelyek eltűnnek és létrejönnek a kölcsönhatások során, és számuk mint kvantumszám jellemezi az egész rendszer állapotát. Az elmélet egyik alapfeltevése, hogy az elektromágneses kölcsönhatást virtuális fotonok közvetítik, ahol azért beszélünk virtualitásról, mert ezek a fotonok közvetlenül nem észlelhetők. Az elmélet látványos sikereket ért el, ami arra ösztönözte a fizikusokat, hogy a mikrovilágban uralkodó két további kölcsönhatást, a részecskéket átalakító gyenge és az atommagot összeforrasztó erős kölcsönhatást is a kvantumelmélet alapján értelmezzék. Így született meg a gyenge kölcsönhatást közvetítő W és Z bozonokon, illetve az erős kölcsönhatást közvetítő gluonokon alapuló kvantumelmélet is.

Miért nem kvantumos a gravitáció?

Úgy látszott, hogy a démokritoszi felfogás teljes diadalt arat a mikrovilágban. Csak egy dolog hiányzott ehhez: annak a kérdésnek a megválaszolása, hogy miként lehet a kvantumelv alapján megérteni a gravitációt is. Albert Einstein zseniális gondolatai alapján még a XX. század elején jött létre a speciális és általános relativitáselmélet. Ezek az egyenletek a folytonossági koncepció alapján születettek. A speciális relativitáselméletet az angol Paul Dirac sikeresen alkalmazta a kvantummechanikában, de a gravitáció „kvantumosítása” rengeteg erőfeszítés ellenére sem sikerült. Mi lehet a kudarc oka? A gravitáció elvben hat az elemi részecskék között is, de oly gyenge, hogy ennek kísérleti kimutatása lehetetlen, viszont az univerzum kolosszusainak tulajdonságait kitűnően írja le Einstein gravitációs egyenlete. Példa erre a fekete lyukak, a gravitációs-hullámok és lencsék megfigyelése, amelyek létezését az elmélet előre megjövendölte. A közel százéves kudarc után ideje számolni azzal a lehetőséggel, hogy nem lehet minden kölcsönhatást kvantumokkal leírni. Az általános relativitáselmélet „térelmélet”, amely a gravitáció eredetét a tér görbületére alapozza, és a teret folytonosnak tekinti. Ezzel szemben a többi kölcsönhatást „mezőelméletek” írják le, azaz a térben változó erőkről beszélünk, anélkül, hogy változna a folytonos tér szerkezete. Az elméleti keretek különbsége magyarázhatja, hogy miért nem sikerült a gravitációra is kiterjeszteni a démokritoszi elvet tükröző kvantumfelfogást.

Létezhet-e fizika differenciálegyenletek nélkül is?

Newton óta a fizika törvényeit differenciálegyenletekkel fogalmazzuk meg, ami azt jelenti, hogy a teret és időt folytonosnak és nem lépcsőzetesen változónak képzeljük el. De vajon a démokritoszi elv nem terjeszthető ki a térre és időre is? Ilyen kérdéseket pedzeget az ősrobbanás elmélete is, amikor a kezdeteket a

10^-43s körüli Planck-időhöz és a 10^-35m körüli Planck-hosszhoz igazítja. Ezek a rendkívül parányi értékek olyan állapotnak felelnek meg, amikor a folytonosság elvén működő gravitációs erők elválasztatatlanul összekapcsolódnak a kvantumokkal leírt erős kölcsönhatással. A démokritoszi elv teljességét az jelentené, ha az idő és tér is lépcsőzetes lenne. De ez ellentmondana a differenciálás szabályainak, és emiatt új matematikai eszközöket kellene keresni a fizikában. Szükség van-e ilyen elméletre, és ez hová vezetne, mi lenne a hozadéka? Erre a választ a jövő útkeresései adhatják meg.

A szerző fizikus, a BME és az ELTE címzetes egyetemi tanára. A Qubiten a Kalandozások a fizikában címen futó sorozatának korábbi írásai itt olvashatók.