Hogyan jönnek létre a fekete lyukak?

Einstein általános gravitációs elméletének egyik izgalmas következménye a fekete lyukak létezése, amit később a csillagászati megfigyelések fényesen igazoltak. Nem kell azonban elmélyednünk ennek az elméletnek a bonyolult matematikájában, hogy megértsük a fekete lyukak létrejöttének okát. Induljunk ki ehelyett a jól ismert Newton-egyenletből!

Newton gravitációs törvénye

Newton gravitációs egyenlete írja le a bolygók keringési törvényét. Ha a bolygó tömege nagyon kicsi a Naphoz képest, és körpályákra szorítkozunk, akkor az m tömegű és u sebességű bolygó centrifugális erejét az M tömegű Naptól származó gravitációs vonzás tartja egyensúlyban az R sugarú pályán:

Az egyenletben szereplő általános gravitációs állandó: 

G = 6,673x10-11 m3/kg⋅s2

Az egyenlet egyik oldalán szerepel a tehetetlen tömeg, a másikon a gravitáló tömeg. A kettő egyenlősége miatt az egyenlőségből az m tömeg kiesik, és azt kapjuk, hogy

A sebességet meghatározó összefüggés nem függ a bolygó tömegétől, ezért alkalmazható az összefüggés, bármilyen kicsi is legyen a keringő tömeg, sőt a relativitáselmélet szerint ez vonatkozik a nulla nyugalmi tömegű fényre is.  A foton viszont fénysebességgel mozog, azaz u = c, és így a fenti kifejezés átrendezése után megkapjuk, hogy mekkora lehet az M tömegű fekete lyuk által körpályára kényszerített foton pályájának sugara: 

A fénysebesség értéke c = 3x108 m/s. Az Rf sugár központi szerepet játszik az általános relativitáselméletben is, mert ennek kétszerese felel meg az eseményhorizontnak, ahol az Einstein-egyenletnek szingularitása van.

Van egy másik feltétele is a fekete lyuk kialakulásának, mert az M tömeget magába záró objektum RM sugara nem lehet nagyobb, mint a kötött pályán mozgó foton pályasugara, azaz 

A feltétel teljesüléséhez nemcsak extrém nagy tömegsűrűség kell, hanem megfelelő méret is. Azonos sűrűségű égitesteknél azért kedvezőbb a nagyobb méret a fekete lyuk kialakulásához, mert a tömeg az RM sugár harmadik hatványával arányos, míg az Rf pályasugár csak lineárisan növekszik a tömeggel.

Milyen csillagok lehetnek fekete lyukak?

Nézzük meg a feltételek teljesülését különböző égitesteknél! A Föld esetén a csapdázott foton pályasugara kisebb, mint 5 milliméter, a Napnál pedig 1,5 km körül van, ami jóval kisebb az égitestek kiterjedésénél. A Földre vagy Napba érkező, vagy onnan kibocsátott fényt nem ejti foglyul a gravitáció, hiszen elnyelődik az égitestek felületén, a felszínéről induló, vagy onnan visszavert fénysugarak pedig zavartalanul távozhatnak. A galaktika óriáscsillagai sem viselkedhetnek fekete lyukként, mert a tömegükhöz tartozó pályasugár nem haladja meg a 200 kilométert, amelynél saját sugaruk sok nagyságrenddel nagyobb.  A fekete lyukhoz szükséges nagy sűrűséget sokkal inkább a neutroncsillagoktól várhatjuk. Ezeknek tömege 1 és 3 Naptömeg között található, sugaruk pedig 10 km körül van. Egy közepes neutroncsillag 3x1030 kg tömegét alapul véve, a sűrűség 6x1017 kg/m3-nek adódik, míg a kötött foton pályasugara 2,5 km körül lehet. Ebből látható, hogy a 10 km sugarú neutroncsillagok sem viselkednek fekete test gyanánt.

A nukleonok tömegsűrűsége

Mielőtt továbblépnénk, érdemes elgondolkozni rajta, hogy mi határozza meg a neutroncsillagok, illetve a fekete lyukak tömegsűrűségét. Induljunk ki a nukleonokból, a protonból és neutronból. A szóráskísérletek szerint a proton sugara

 Rp = 0,87x10-15 m, 

tömege:

mp = 1,66x10-27 kg, 

az ebből számolható sűrűség: 

ρp = 6x1017 kg/m3, egyezően a neutroncsillagoknál becsült értékkel. 

Ezt az óriási sűrűséget úgy érzékeltethetjük, hogy elegendő lenne egy parányi kávéskanalat megtölteni ezzel az anyaggal, hogy a gízai nagy piramis tömegének ezerszereséhez jussunk!

A neutroncsillag olyan, mint egy sűrűn pakolt, hatalmas neutrontömb. Érdemes azt is megjegyezni, hogy ez a sűrűség meghaladja a nagyobb atommagok sűrűségét, amely 3x1017 kg/m3 körül van. A szubatomi részecskék törvényeit összefoglaló Standard Modell szerint az erős kölcsönhatás tartja egyben a kvarkokat a nukleonokban, illetve a nukleonokat az atommagokban. A sűrűség csökkenése nagyobb atommagoknál részben az erős kölcsönhatás rövid hatótávolságának, részben a protonok közötti elektrosztatikus taszításnak tulajdonítható.

Egy kis kémia

Az atommagok szerkezetének megismeréséhez segít, ha párhuzamot vonunk az atomi elektronpályákkal. Az elektronok héjakba rendeződnek, mert az elektronspinhez két, az L pálya-impulzusmomentumhoz 2L +1 azonos energiájú pálya tartozik, és a Pauli-elv szerint minden pályán csak egyetlen elektron lehet. Ez vezet a molekulák kialakulásához, mert az egyik atom zárt héja feletti többletelektronját átadhatja egy másik atomnak, ahol a héjból egy elektron hiányzik – ez az ionos kötés.  Ennél sokkal fontosabb azonban a kovalens kötés, ahol az atomok „megosztoznak” az elektronokon, kölcsönösen kialakítva zárt héjakat. Ennek nagymestere a szén, amelynek vegyértékhéja félig van tele, azaz félig üres, és ennek köszönhető, hogy a szerves vegyületek végtelen sokasága jöhet létre.

Egy kis magfizika

Az atommagot alkotó protonok és neutronok (összefoglaló néven nukleonok) is héjakba rendeződnek, de itt nagyságrendekkel nagyobb az energia, és sokkal kisebb a nukleonok közötti távolság. Erre szükség is van, mert az erős kölcsönhatásnak rövid a hatótávolsága. Az atomok szerkezetének kialakításában három erő: az erős és gyenge kölcsönhatás, valamint az elektromágneses erő összjátékára van szükség. 

Az erős kölcsönhatás nem tesz különbséget a nukleonok között: egyforma erővel köt össze két protont, két neutront, vagy egy protont és egy neutront. De akkor miért nem jönnek létre már normál körülményeink között is neutron-agglomerátumok, hiszen ekkor nem kellene legyőzni a töltések miatti taszító erőt. Itt lép be a gyenge kölcsönhatás, amely a bétabomlásnak nevezett mechanizmussal a neutront negyedóránként átalakítja protonná, és emiatt a tiszta neutronból felépülő tömbök nem lehetnek stabilak. A neutront és protont közel azonos számban tartalmazó atommagokban a gyenge kölcsönhatás már nem alakítja át a neutront protonná, mert ez növelné az egymást taszító pozitív töltések számát, és ráadásul az új proton magasabb energiájú pályára kényszerülne. A legstabilabb, azaz legnagyobb kötési energiával rendelkező atommagokban –  ilyen például a hélium – a neutronok és protonok éppen elférnek egy kisenergiájú zárt pályán. 

Ha az atommagban a nukleonok száma N, akkor közöttük N(N-1)/2 pár alakul ki, amellyel arányosan növekszik az erős kölcsönhatás hozadéka. Ezért lesz a kötési energia egyre nagyobb az 56Fe izotópig bezárólag. Ha ennél is nagyobb a nukleonok száma, akkor már gyarapszik az olyan „távoli” párok száma, amelyek között nincs erős kölcsönhatás, és ráadásul a nagyobb protonszám növeli az elektrosztatikus taszítást, hiszen ez a kölcsönhatás alig csökken a nukleonok közötti távolsággal. Emiatt bomlanak fel könnyen a radioaktív elemek, ahol a protonok száma már százhoz közelít.

A neutroncsillagok fizikája

A neutroncsillagokban már egy új játékos ül le az asztalhoz: a gravitációs kölcsönhatás. Ennek ereje a nagy sűrűség miatt már eléri az erős kölcsönhatás szintjét, de „jobb lapokkal” rendelkezik, mert a kölcsönhatás nincs korlátozva az objektum méretével, ezért képes bármennyi neutron összetartására. Ne felejtkezzünk el a gyenge kölcsönhatásról sem, ami a neutronállományt fokozatosan protonná alakíthatja át, és ha túl sok a proton, az elektrosztatikus taszítás megakadályozhatja a neutroncsillag gyarapodását. Ez magyarázhatja, hogy a tömegük nem haladja meg a Nap háromszorosát.

Szupernóva-robbanás

A neutroncsillagok 1935-ös felfedezése James Chadwick (angol csillagász, 1891-1974, Nobel-díj: 1935) nevéhez fűződik, aki a szupernóvák robbanását vizsgálta. A robbanás feltételét Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995, Nobel díj: 1983) indiai csillagász adta meg: számításai szerint ehhez akkora csillag kell, melynek tömege legalább nyolcszorosa a Napénak.  Amíg a csillagban elegendő a héliumtermelő üzemanyag a fúzióhoz, a sugárnyomás megóvja a csillagot az összeroppanástól, de amikor ez kezd kifogyni, a csillag összeroskad, és hatalmas energiakibocsátás után csak egy viszonylag kis mag marad vissza, ami lehet fehér törpe vagy neutroncsillag. 

Ez a robbanás nem szállítja el az óriáscsillag eredeti forgásához tartozó impulzusnyomatékát, viszont a tömeg és még inkább a sugár sok nagyságrenddel lecsökken, amiért a forgást akadályozó tehetetlenségi nyomaték sok nagyságrenddel kisebb lesz, felgyorsítva a forgási frekvenciát – akár 10 nagyságrenddel. A neutronok rendelkeznek mágneses momentummal is, mert az alkotó kvarkok töltéseinek súlypontja nem esik egybe. Így a másodpercenként akár több százszor megperdülő csillag mágneses mezője szétküldi az energiát a lágy rádiósugaraktól kezdve a kemény gammasugarakig, létrehozva a pulzárokat.

Mi lehet a fekete lyukak anyaga?

A fekete lyukakról keveset tudhatunk, mert csak azáltal vehetjük észre jelenlétüket, hogy eltakarják a mögöttük lévő csillagokat. Tömegükre becslést tehetünk a csillagok mozgását tanulmányozva, mert erre hatással van a fekete lyuk tömege is. Ezek jellemző tömege hozzávetőleg egy nagyságrenddel nagyobb, mint a neutroncsillagoké, de a galaxisok centrumában létező óriási fekete lyukak ezt a méretet is sokszorosan meghaladják. A Napnál tízszer nagyobb tömegű objektumokban a kötött fotonok pályasugara már 25 kilométer fölé nő, elérve a fekete lyukak kiterjedését, ha ezek sűrűsége a neutroncsillagokéval egyezik meg. A fekete lyukak sűrűségének tehát nem kell meghaladnia a neutroncsillagét ahhoz, hogy képesek legyenek visszatartani saját sugárzásukat. 

Kérdés azonban, hogy miért lehet tömegük jóval nagyobb, mint a neutroncsillagoké? Ez úgy képzelhető el, hogy itt nemcsak a neutronok, hanem a protonok, sőt az elektronok is csapdázódnak. A hatalmas gravitációs erő az elektronokat olyan pályára kényszerítheti, ahol a protonok belsejében nagy az elektronsűrűség. Nagytömegű radioaktív atomokban ismert a K-befogás jelensége. Ez azt jelenti, hogy a legbelső pálya elektronja befogódik, és egy proton neutronná alakul át. Ez a folyamat épp fordítottja a bétabomlásnak. A fekete lyukban a protonok belsejében lévő nagy elektronsűrűség miatt a K-befogás valószínűsége is megnövekszik, kompenzálva a bétabomlást, és elősegítve, hogy a fekete lyukak tömege jóval meghaladja a neutroncsillagokét.

A szerző fizikus, a BME és az ELTE címzetes egyetemi tanára. A Qubiten a Kalandozások a fizikában címen futó sorozatának korábbi írásai itt olvashatók.