Ész Ventura: Kiszámoltuk a tavalyi majomfejek értékét!

Az idei év első feladványában arra kerestük a választ, hogy mik voltak a tavalyi esélyek. A tavalyi kreatív pontversenyben összesen N = 937 majomfejet osztottunk ki. Ha ezeken kívül egy új versenyző n majomfejet szerzett volna, akkor p = n/(N+n) lett volna az esélye, hogy egy húzás során kisorsoljuk a nevét.

Igen ám, de három húzás is volt egymástól függetlenül, ami megbonyolítja a dolgot, hiszen a kérdés a nyerési esély volt, márpedig akkor is nyer valaki, ha egyszer húzzák ki a nevét, de akkor is, ha kétszer vagy háromszor. Hogy elkerüljük a különböző valószínűségű esetek számolgatását, érdemes azt a trükköt alkalmazni, hogy a nyerési esély helyett a vesztés esélyét számoljuk, veszíteni ugyanis csak akkor veszítünk, ha mindhárom esetben veszítünk. Annak az esélye, hogy egy húzásnál veszítünk: 1-p, és mivel a húzások egymástól függetlenek, ezért annak az esélye, hogy mindhárom húzásnál veszítünk (1-p)·(1-p)·(1-p). Ahhoz hogy a nyerési esélyt megkapjuk, ezt 1-ből le kell vonnunk.

Ha tehát valaki csak egy majomfejet szerzett volna (n=1), akkor a nyerési esélye ezzel az egy fejjel: 1-(1-p)^3 = 1-(1-1/938)^3 ≈ 0.32% lett volna. A sorsolási eredmények kihirdetésénél leírtuk, hogy az első megoldók listájában összesen 101 majomfej szerepelt, tehát ennyit lehetett volna szerezni összesen a kreatív pontversenyben is, de mivel a háromkoponyás 28. feladványt kivettük a pontversenyből, ezért maximum csak 98 majomfejjel lehetett részt venni a sorsoláson. Ez alapján tehát a maximális esély 1-(1-98/(937+98))^3 ≈ 25.8% volt, amit az érhetett volna el, aki minden feladványra küld megoldást, és mindegyikre maximális pontszámot kap.