Ész Ventura: Itt a válasz a kérdésre, hogy melyik torony dől fel

Félszázadik Ész Ventura-feladványunk megoldásához érkeztünk, amelynek alkalmából különdíjat is kisorsoltunk a helyes megfejtők között.

A kérdés az volt, hogy az alábbi tornyok közül melyek fognak feldőlni, ha a betűk között semmiféle súrlódási hatással nem számolunk?


Illusztráció: Gáspár Merse Előd

Ha egy merev test egyensúlyban van, akkor a rá ható erők eredője zérus. Egy vízszintes sík felületre helyezett merev test esetében ez azt jelenti, hogy a függőlegesen lefelé mutató gravitációs erővel az alátámasztás által kifejtett kényszererőnek kell egyensúlyt tartania, annak eredője tehát a gravitációs erővel éppen ellentétes.

A kényszererő természetesen eloszolhat az alátámasztási felületen, azaz annak különböző pontjaiban más és más nagyságú lehet, de mivel súrlódás nincsen, ezért minden pontban a síkra merőleges kell legyen, és ezek összege lesz az eredő kényszererő.

Az egyensúlynak azonban van egy másik feltétele is. Nem elegendő az, hogy a tömegközéppontra nem hat eredő erő, és ezáltal a test tömegközéppontja nem gyorsul, de forogni sem foroghat a test, ezért a forgatónyomatékok összege is zérus kell legyen, akármilyen pontra vonatkoztatjuk is.

Ha a forgatónyomatékot a tömegközéppontra vonatkoztatjuk, akkor a gravitációs erő forgatónyomatéka automatikusan zérus, hiszen átmegy a tömegközépponton, tehát nincs neki erőkarja, vagyis a kényszererő forgatónyomatékának is zérusnak kell lennie a tömegközéppontra vonatkoztatva. Amennyiben viszont a tömegközéppont vetülete a talapzat érintkezési felületén (konvex burkán) kívül esik, akkor a kényszererő tömegközéppontra vonatkoztatott forgatónyomatéka nem tűnhet el, és a torony el fog dőlni. Ellenkező esetben a kényszererőknek van olyan eloszlása a talapzaton, ami egyensúlyt tud tartani. Erről már korábban is írtunk a LEGO-tornyos feladvány kapcsán.

Abban az esetben, amikor nem merev testről van szó, hanem egy merev elemekből álló toronyról, akkor a fenti egyensúlyi feltételeket minden egyes részhalmazra vizsgálni kell. Ez esetünkben praktikusan azt jelenti, hogy fentről lefelé meg kell vizsgálnunk, hogy ledől-e a legfelső q betű, ha feltesszük, hogy az alatta lévő formáció stabil, ledől-e a legfelső két elemből álló együttes, ha merevnek tekintjük és az alatta lévőek stabilak, és így tovább, egészen addig, hogy feldől-e az egész torony, ha merevnek tekintjük.

Ahhoz, hogy a fenti vizsgálatokat elvégezzük, nézhetjük a megfelelő elemegyüttesek tömegközéppontjainak vetületét. Ez is célra vezet, de mivel a koordináták általában tört számok lennének, azért az illusztráció nem lenne túl szemléletes. Ehelyett mi azt fogjuk megvizsgálni az elemegyüttesek talapzatainak két szélén, hogy előfordul-e olyan, hogy az adott széltől kifele eső részre ható gravitációs erő forgatónyomatéka nagyobb, mint a belső oldalon lévő részre ható forgatónyomaték, mert ebben az esetben az elemegyüttes kifele fog dőlni.

A forgatónyomatékban a tömeg az erőkarral szorozva szerepel, ezért nem a talapzat szélétől balra, illetve jobbra eső egységkockákat számoljuk össze, hanem azokat a széltől vett vízszintes távolsággal súlyozva adjuk össze. Ha egy kocka a szél melletti oszlopban van, akkor egyszeres súllyal kerül beszámításra, ha egyel kintebbi oszlopban, akkor kétszeres súllyal, és így tovább. Az alábbi ábrán lévő egész számok tehát a forgatónyomatékkal lesznek arányosak. Piros számok jelzik a talapzatok belső oldala felőli forgatónyomatékokat, fekete számok a talapzaton kívüli részek forgatónyomatékait a megfelelő szélre vonatkoztatva.

Illusztráció: Gáspár Merse Előd

Az első két torony esetében minden piros szám nagyobb a mellette lévő fekete számnál, ezért ezek a tornyok egyensúlyban lesznek. Ha egy torony feldől, akkor elegendő egyetlen olyan párost mutatnunk, ahol ez a reláció nem teljesül, ezért a jobb oldali öt torony esetében csak egy ilyen számpárost tüntettünk fel: ezek a tornyok mind ledőlnek, ha nincsen súrlódás.

A súrlódás egyébként csak az utolsó torony esetében segíthet. Talán kontraintuitív, de így van, ha a q betűt formázó elemet ráakasztjuk egy sarokra, ahogy a fenti példában az u betűre, akkor az súrlódás hiányában le fog csúszni. Haladóknak bónusz kérdés, hogy mekkora súrlódási együttható tudja ezt megakadályozni, ha az érintkező felületek ugyanolyan anyagból készülnek?

Az alapfeladványra sokan küldtek majdnem jó megoldást, és néhányan javították a megoldásukat, de a sorsolásba csak az elsőre tökéletes megoldást beküldők kerültek bele, név szerint Boros Péter, Bódi Gergely, Láng Péter és Vincze Mihály. Közülük a sorsoltuk ki a szerencsés nyertest, Bódi Gergely, aki egy egy Rhino Hero nevű jópofa toronyépítős társasjátékot kap ajándékba.