Ész Ventura: Szét tudod osztani a kavicsokat úgy, hogy mindegyik pohárba prímszámnyi kavics kerüljön?

Támogasd a tudomány népszerűsítését, segítsd a munkánkat!

Ha van három pohár és N kavics, akkor szét tudod-e úgy osztani a kavicsokat, hogy mindegyik pohárba prímszámnyi kavics kerüljön? Ha van kedved próbáld ki 10-re, 11-re, 12-re, 13-ra, stb. Sikerülni fog. Tegyük fel, hogy tetszőleges N-re egyetlen másodperc alatt megtalálod a megoldást, ha van megoldás. Ha elkezded tovább vizsgálni egyesével, akkor azt állítom, hogy százmilliárd évig csinálhatod, és teljesen biztos, hogy mindig sikerülni fog, mégse tudom azonban megmondani, hogy akármeddig csinálhatod-e úgy, hogy sikerüljön.

Ami az állításom mögött meghúzódik, nem más, mint a híres Goldbach-sejtés, amely kimondja, hogy minden 2-nél nagyobb páros szám előáll két prímszám összegeként, és minden 5-nél nagyobb páratlan szám előáll három prímszám összegeként. Mivel egy páros számból 2-t levonva szintén páros számot kapunk, és 2 egy prímszám, ezért a fenti két állításból az is következne, ha igazak lennének, hogy minden 5-nél nagyobb szám előáll három prímszám összegeként. Mármost a fenti állítások közül a páros számokra vonatkozó, ún. erős Goldbach-sejtés, több mint 250 éve kifog a matematikusokon és a vízvezeték szerelőkön, azaz nem tudjuk, hogy igaz-e, számítógéppel azonban 4·1018-ig minden számra ellenőrizték, és addig igaznak bizonyult. Ezért tudom tehát azt mondani, hogy százmilliárd évig próbálkozhatnál, és másodpercenként egyet próbálva még mindig csak ott tartanál az ellenőrzésben, amit számítógéppel már sikerült ellenőrizni. A páratlan számokra vonatkozó gyenge Goldbach-sejtést egyébként pár éve, 2013-ban, sikerült bebizonyítani.

135. feladvány: Három pohár és kavicsok

A feladat hasonló lesz. Az ábrán látható három pohárba kell N = 17 darab kavicsot elosztani úgy, hogy minden kavicsnak pohárba kell kerülnie és minden pohárnak prímszámnyi kavicsot kell tartalmaznia, de most kikötjük, hogy nem lehetnek olyan poharak, amik azonos számú kavicsot tartalmaznak.

Haladóknak: Hány megoldás van? Milyen N számokra van még megoldása egy ilyen feladatnak? Ha szükséges, felteheted, hogy az erős Goldbach-sejtés is igaz.

Nehézségi szint:

A megfejtéseket részletes magyarázattal együtt az eszventura@qubit.hu címre várjuk. A legértékesebb megoldást küldő versenyzők felkerülnek az Ész Ventura dicsőségfalára, közöttük és minden jó megoldást beküldő versenyző között év végén nyereményeket sorsolunk ki. Az e-mail subject mezőjében kérjük sorszámmal jelezni, hogy melyik feladvány megoldásáról van szó. Beküldési határidő: november 25. éjfél.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.