Ész Ventura: Íme a bevásárlós gubancmese megoldása

A Qubit a szabad és tájékozott magyar nyilvánosságért dolgozik. Segítsd a munkánkat!

Bevásárlási gubanc című feladványunkat egy gubancmese formájában tettük közzé. A 19. századi Angliában a Monthly Pocket nevű újságban Lewis Carroll szórakoztatta olvasóit ilyen viktoriánus kori történetekbe ágyazott feladványokkal. Ezek a gubancoknak nevezett történetek a Typotex Kiadó gondozásában magyarul is megjelentek Gubancmese címmel, aminek szereplőit újra megidéztük az alábbi fejtörőben.

   – Mattie néni!
   – Mondd, gyermekem!
   – Szépen kérlek, írd le! Máskülönben teljesen biztos, hogy el fogom felejteni az összeset.
   – Kedvesem, meg kell várnod, amíg a kocsi megáll. Hogyan tudnék írni ebben a zötykölődésben?
   – De én tényleg el fogom felejteni!
   – Kedvesem, edzened kellene az elmédet, hogy kissé nőjön a befogadóképessége!
Clarának ezzel a vigasztalással kellett beérnie, mert a konflis hirtelen megállt, nagynénje kifizette a kocsist, a hordárt pedig a legapróbb részletekre is kiterjedő utasításokkal látta el.
   Kis idő múlva egy padon ültek, amikor Clara hirtelen, és keserűen sírni kezdett.
   – Talán a fogad fáj? – kérdezte nyugodtan a nagynénje, miközben egy szempillantás alatt kinyitotta táskáját, és két különböző fájdalomcsillapítót vett elő.
   – Nem, nem a fogam fáj – tiltakozott szegény Clara. – Csak elfelejtettem, pedig mondtad, hogy ezúttal mindennek a darabárát külön jegyezzem meg, de nem elég nagy a fejem!
   – De kedvesem, hiszen csak három számról volt szó!
   – Nem, nem csak három számról, mert azt is tudnom kellett volna, hogy melyik mihez tartozik, az pedig már... Nem is tudom, azt hiszem, legalább fél tucat lehetőség. Ráadásul több kétjegyű szám is volt közöttük.
    – Nem is kellett volna mindet megjegyezned, hiszen még megvan a visszajáró, és a bevásárlólista is, nem? Ha csak kettőt megjegyeztél volna, most ki tudnánk számolni.
   Clara gyorsan elő akarta venni a visszajárót, mert tudta, hogy Mad Mathesis előbb-utóbb minden huncut petákkal elszámoltatja. Amint a visszajáró után kotorászott, a szatyor alján megtalálta az előző két bevásárlásának kissé összegyűrt listáját, és a cetliket is a végösszegekről, amiket a piaci kofától szokott kapni.
   – Sajnos most már teljesen kiment a fejemből, egy számra sem emlékszem, viszont nézd csak, itt van, hogy mit vettünk korábban, és az is, hogy mennyibe került, csak azt nem tudom, melyik összeg melyik bevásárláshoz tartozik.
   – No nézzük csak, egyszer hat szál répáért, hat citromért és két fürjtojásért küldtelek, egy másik alkalommal nyolc szál répa kellett, öt fürjtojás és egy citrom, legutóbb pedig tíz szál répa, hét citrom és egy fürjtojás. Úgy látom, egyik alkalommal  100 petákot fizettél összesen, egy másik alkalommal 110-et, egyszer pedig 120-at. Ráadásul ha ideadod a visszajárót, akkor tudni fogjuk, hogy melyik tartozik a mai bevásárláshoz.
   – Nagyon röstellem, de attól tartok, hogy elszórtam. Most vettem csak észre, hogy itt van egy kis lyuk a szatyor alján, még szerencse, hogy a fürjtojás nem fért ki rajta.
   – Hát ez bosszantó, de ha ki tudod számolni e nélkül is, akkor elfeledkezünk erről a kis incidensről. Bízom benne, hogy képes vagy rá!
   Clara mereven maga elé nézett. Úgy érezte elméje üres lappá vált. Azt tudta, hogy mindent darabáron vett, az árak egész számok voltak, és régóta nem változtak. Azt is tudta, hogy semmit nem kapott ajándékba, bár a kofa jól ismeri, és rendszeresen meg szokta kínálni valami aprósággal, de ő mindig illedelmesen visszautasítja.

Illusztráció: Gáspár Merse Előd

Segítség Clarának

A feladat sokféleképpen megoldható. Lényegében van három darab egyenletünk, amiknek az egyik oldalán a termékek lineáris kombinációi szerepelnek (ez a kosarak tartalma), a másik oldalán pedig a végösszegek, csak ezek összekeveredtek, és nem tudjuk, hogy melyik kombinációhoz (kosárhoz) melyik összeg tartozik. Ha jobbat nem tudunk, akkor vehetjük az összes lehetséges esetet, vagyis megoldunk hat darab három ismeretlenes egyenletrendszert, és megnézzük, hogy melyik megoldása felelhet meg a feladat feltételeinek. A történetből a következőket tudjuk ugyanis: a termékek darabárai pozitív egész számok, és van közöttük legalább kettő kétjegyű szám, ez utóbbit sokan nem vették észre a történetben elrejtve. A beküldött megoldások többsége két dolgot használt ki a megoldás gyorsításához, az egyik az oszthatóság, a másik az egyenletek összeadásának trükkje, ez utóbbi esetben ugyanis egy olyan egyenletet kapunk, amelyben nincs határozatlan tényező. Az alábbi megoldásban Dömők Dávid megoldása alapján a 7-el való oszthatóságot fogjuk vizsgálni.

Jelöljük a répa árát R-rel, a citromét C-vel, a fürjtojásét F-el, ekkor a kosarakért rendre a következő árakat kellett fizetni: 6R + 6C + 2F, 8R + 1C + 5F és 10R + 7C + 1F. Az első két kosár ára együtt 14R + 7C + 7F, aminek 7-el osztható számnak kell lennie, mert R, C és F egész számok. A kosarak értéke 100, 110 és 120 a történet szerint, de ezek közül csak az első kettőnek az összege, azaz 100 + 110 = 210 osztható 7-el, tehát biztos, hogy a harmadik kosár értéke 120 peták. Így már hat lehetséges egyenletrendszer helyett elegendő csak kettőt megvizsgálnunk, vagy az első kosár 100 peták és a második 110, vagy az első 110 és a második 100. Ezeket megoldva az alábbi árak jönnek ki: az első esetben R = 6, C = 7, F = 11, a második esetben R = 3, C = 11, F = 13. A feladat szerint azonban több kétjegyű darabár is volt, így a második lesz a helyes megoldás.

A legértékesebb megoldást beküldő versenyzők megtalálhatók a Dicsőségfalon!

Kapcsolódó cikk a Qubiten: