Ész Ventura: A három matematikus esete a színes háromszögekkel

Ha a köztudott tudás témakörében születik egy feladvány, az szinte mindig meghökkentő. Színes háromszögek című feladványunk esetében sem volt ez másképp: rengeteg olvasó írt vissza, hogy biztos elírás történt, vagy nem érti a feladatot. Pedig nem történt elírás, lehetséges az alábbi eset.

Egy absztrakt művész megkérdezte matematikus barátját, hogy tudja-e, melyik háromszögre gondolt az általa festett képen. Nemleges választ kapott. Megkérdezte egy másik barátját, az sem tudta. Egy harmadikat is megkérdezett, aki szintén nem tudta megmondani. Ezután elkezdte újra elölről, azaz megkérdezte megint az elsőt, hogy most tudja-e, melyikre gondolt. A válasz nem változott. Újra megkérdezte a másodikat, ő sem tudta. Megkérdezte a harmadikat is megint, ő sem tudta. A kérdezősködést tovább folytatta, míg végül a 10. kérdésre azt felelte a soron következő matematikus, hogy ő tudja. Ezután megkérdezte a másik kettőt is, akik azt mondták, most már ők is tudják.

Igen, ez lehetséges! A dolog abban áll, hogy információtartalma van annak is, hogy tudod valakiről, hogy valamit nem tud, sőt annak is, hogy tudod valakiről, hogy ő tudja, hogy te nem tudod, és így tovább. De nézzük a konkrét példát, amiben ezt az információt trükkösen ki is tudták használni a matematikusok, és így a kérdésre is választ tudtak adni egy idő után. Ehhez természetesen fel kell tételeznünk, hogy a matematikusok logikusan gondolkodnak, és ezt a többiekről is feltételezik, továbbá mindig igazat válaszolnak.

A feladat szerint a szóban forgó absztrakt művész N darab különböző, egymással át nem fedő, nem egyenlő szárú háromszöget festett a vászonra. Minden háromszög minden oldalát színesre festette, minden oldalhoz egy konkrét és egyértelműen megnevezhető színt használt, egy színt akár többször is. A művésznek volt egy kedvenc háromszöge a képen, amire gondolt, és az első matematikusnak titokban elárulta a kedvenc háromszöge legrövidebb oldalának a színét, a másodiknak a középső oldal színét, a harmadiknak pedig a leghosszabb oldal színét. A matematikusok tudták, hogy kinek melyik oldal színét súgta meg.

Többféleképpen is lehet olyan esetet konstruálni, azaz olyan képet festeni, hogy pontosan a 10. kérdés után jöjjenek rá a matematikusok, hogy melyik háromszögre gondolt a festő. Sőt, 10 helyett bármilyen más számra is működik a dolog, de most nézzünk 10-re egy egyszerű példát nyolc háromszöggel és csupán négy szín használatával. A színek legyenek a következők: P(iros), S(árga), K(ék), (Z)öld. A háromszögek oldalainak színeit növekvő oldalhossz szerint fogjuk megadni. Legyenek a festményen lévő háromszögek az alábbiak, és legyen ezek közül az első a kedvenc háromszög, amit keresnek a matematikusok. A színkódokat direkt egymás alá írtuk, mert így jobban nyomon tudjuk majd követni a lényeget.

  • 1. háromszög: S-P-K (kedvenc)
  • 2. háromszög: Z-Z-Z
  • 3. háromszög: Z-Z-K
  • 4. háromszög: Z-S-S
  • 5. háromszög: S-S-K
  • 6. háromszög: S-K-S
  • 7. háromszög: K-P-K
  • 8. háromszög: K-K-K

Az első kérdés ahhoz a matematikushoz érkezik, aki a legrövidebb oldal színét ismeri, vagyis tudja róla, hogy sárga. Ilyen háromszögből (ami S-el kezdődik) viszont több is van (1., 5. és 6. háromszög), ezért nemmel válaszol, amikor megkérdik tőle, hogy tudja-e, melyik lehet a szóban forgó háromszög. A válasza ugyanakkor semmilyen információval nem szolgál a többiek számára, hiszen a szóba jövő zöld vagy kék színek esetében is lett volna több háromszög, aminek a legrövidebb oldala olyan színű.

A második kérdés ahhoz a matematikushoz érkezik, aki a középső oldal színét ismeri, ami piros. Ilyenből is több van (1. és 7. háromszög), ezért ő is nemmel válaszol. Az ő válasza szintén nem szolgál plusz információval a többiek számára, mert bármilyen más szín esetén is több háromszög lett volna, aminek a középső oldala olyan színű.

A harmadik kérdés ahhoz a matematikushoz érkezik, aki a leghosszabb oldal színét ismeri, amely kék. Ez a matematikus szintén nemmel válaszol, hiszen több olyan háromszög van, aminek a leghosszabb oldala kék (1., 3., 5., 7. és 8. háromszög). Ennek a matematikusnak a nem válaszából azonban információhoz jut a másik két matematikus is: ki tudják ugyanis zárni a 2. háromszöget, melynek zöld a leghosszabb oldala. Ha ez a háromszög lett volna ugyanis a kedvenc háromszög, akkor azt tudnia kellett volna a harmadik matematikusnak, hiszen nincsen más háromszög, aminek a leghosszabb oldala zöld.

Így tehát a második kört úgy kezdik meg, hogy mindenki tudja, hogy a 2. háromszög ki van zárva, tehát a továbbiakban csak hét háromszög jöhet szóba, és mindenki tudja azt is, hogy ezt mindenki más is tudja – ez az úgynevezett köztudott tudás.

Azt hiszem, most már világos mindenkinek, miként lehetséges az, hogy annak ellenére, hogy a matematikusoktól mindig ugyanazt kérdezik, és ők ugyanazt válaszolják, mégis információhoz jutnak. Ha a kedves olvasó végigzongorázza, ki fog derülni, hogy szépen rendre ki lehet zárni a háromszögeket, mégpedig a 3. háromszöget az 5. kérdésnél, a 4. háromszöget a 7. kérdésnél, az 5. háromszöget a 8. kérdésnél, a 6. háromszöget a 9. kérdésnél, a 7. és 8. háromszöget pedig a 4. körben elhangzó 10. kérdésnél. Így a 10. kérdésre a soron következő matematikus és már az összes többi is tudni fogja, hogy melyik az egyetlen lehetőség, ami maradt.

A megoldást Szamoránsky János olvasónk megoldása alapján állítottuk össze, de rengeteg más megoldás is létezik eltérő mennyiségű háromszögekkel és színekkel.

A legelső megoldó és a megoldásokért kiosztott banánok megtalálhatók a Dicsőségfalon!

Kapcsolódó cikk a Qubiten: