Brian munkába tartott, és mint minden reggel, felszállt a 7:18-kor induló metróra. Ha minden menetrend szerint megy, akkor a 10 megállónyira lévő végállomásra ér 20 perc alatt, onnan még 2 perc gyalog, és 7:40-re beér a munkahelyére. Egy percet se késhetett a 8 órás kezdéssel, és Brian precíz ember, ezért hozzászokott, hogy mindig korábban indul, hogy baleset esetén is beérjen. A metró kijáratánál mindig elveszi az ingyen újságot, amit osztogatnak, de őt csak az utolsó oldal érdekli, ahol egy mini keresztrejtvény található. Amikor beér, a fennmaradó időt a keresztrejtvény kitöltésének szenteli, ezzel szokta felpörgetni az elméjét, és közben iszik egy jó erős kávét. Ha a főnöke egyszer összevetné Brian teljesítményét azzal, hogy aznap hány betű maradt ki a rejtvényből, érdekes összefüggést találna, de a főnök ilyenkor még nincs bent, és az újság mindig a kukában landol.

Ez a nap azonban egy kicsit másképp alakult. Kávé nélkül kicsit kába volt, mint mindig, amikor felszállt a metróra. Leült, és kikotort a feneke alól egy otthagyott újságot. Kicsit stresszesnek ígérkezett a nap, ezért úgy gondolta, jót tenne, ha kicsit elterelné a gondolatait valami, így akadt meg a szeme az újság címlapján és egy cikk címén, ami így szólt: Kiszámítható biorobotok vagyunk! Fellapozta a cikket, és belemerült. A cikkben azt írták, hogy a legtöbb ember legtöbb döntése a körülmények ismeretében megjósolható, és szabad akaratunk tulajdonképpen illúzió. Brian nagyon megdöbbent a cikken, mert ő mindig is törekedett arra, hogy egyéniség legyen. Hirtelen komoly elhatározásra jutott: márpedig ő megtesz mindent azért, hogy ne legyen ilyen birka. Megfogadta, hogy ezentúl minden egyes felmerülő döntésénél nem azt a lehetőséget fogja választani, amit az emberek többsége tenne adott szituációban, hanem az ellenkezőjét.

Rögtön bele is gondolt, hogy a legtöbb ember, ha elindul dolgozni, szépen be is megy a munkahelyére. Úgyhogy azonnal leszállt a metróról – ez 7:28-kor történt az ötödik megállónál –, és felszállt az éppen beérkező ellenkező irányba tartó metróra, hogy elinduljon hazafelé. Amint azonban felszállt az ellenkező irányba menő szerelvényre, belegondolt, hogy ha lenne valaki, aki hirtelen és határozottan eldöntené, hogy aznap nem megy be dolgozni, és hirtelen leszállna a metróról, akkor az biztos határozott ember lenne, aki tartja magát az elképzeléséhez. Így hát Brian a következő megállónál leszállt, és újra felült a munkába menő metróra, ami szerencséjére éppen érkezett, mert 2 percenként járt. Brian úgy gondolta, hogy ez volt a legkiszámíthatatlanabb, amit tehetett. Ekkor viszont beelgondolt abba, hogy az, aki leszáll, majd mégis visszaszáll, meglehetősen bizonytalan ember, aki a következő pillanatban bármit csinálhat. Hát most ő mit tegyen, ami legkevésbé megjósolható? Kitartott a döntése mellett, hiszen a látszat ellenére nem akart bizonytalanságot mutatni. Így hát fenn maradt a szerelvényen, de a következő megállónál már kezdett elbizonytalanodni.

Végülis eddig feltehetően jól döntött, de vajon akad-e még egy olyan ember a világon, aki munkába menet hirtelen leszállt, majd megint hirtelen visszaszállt, az övéihez hasonló gondolatokkal a fejében? Mert ha ez nem gyakori dolog, akkor honnan is tudhatná, hogy az emberek többsége mit tenne ilyen helyzetben, és hogy mit kellene neki tennie, hogy ezzel ellentétesen cselekedjen? És különben is, ha valaki ismerné azt a körülményt, hogy ő mindig ellentétesen cselekszik a szokásossal, akkor végülis teljesen megjósolható lenne. Hogyan döntsön hát, hogy ne legyen megjósolható? Ekkor került elő az érme a zsebéből.

Arra jutott, hogy nem tehet mást, mint hogy a véletlenre bízza a döntését, és akkor senki nem fogja tudni megjósolni. Így is tett, dobott, és leszállt. Amikor újra a hazafelé tartó szerelvényen volt, megint dobott, megint leszállt, és robogott újra a munkahely felé. Ekkor elgondolkodott: ha a szerencsére bízza a dolgot, akkor a választás nem megjósolható ugyan, de nem is nevezhető szabad döntésnek. Másrészt, ha mindig egy érmére bízza a dolgot, akkor az is kifigyelhető, és pontosan leírható a viselkedése. Arra gondolt, hogy olyan módon kéne mozognia, hogy a legkiszámíthatatlanabb legyen annak is, aki megfigyeli a korábbi viselkedését, és statisztikát készít róla. Így jutott el Brian a legkiszámíthatatlanabb sorozat gondolatához.

169. feladvány: A legkiszámíthatatlanabb sorozat

A feladathoz illeszkedően beszéljünk bináris sorozatokról, de 0 és 1 jelek helyett + és - jeleink legyenek, ezek jelképezik az előre- és hátralépést, azaz a munkahely felé (+) és a hazafelé tartó utazást (-), mindig egy megállóra vonatkoztatva. Az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy minden lépés egyformán 2 perc, és sosem kell várakozni. A történet szerint a sorozatunk így indul: + + + + + - + + - +

Egy bináris sorozat legmegjósolhatatlanabb folytatása Brian definíciója szerint a következő. Vesszük a sorozat legvégéről a lehető leghosszabb szakaszt, amit a teljes sorozat legalább még egy másik helyen tartalmaz, azaz előfordult már benne a szóban forgó szekvencia. Azért ezt vesszük, mert az a koncepció, hogy ha valaki statisztikai alapon jósolni akar, akkor megnézi a legnagyobb mintázatot, amire még talál statisztikát a sorozatban (azaz előfordul benne), és ennek korábbi előfordulásai alapján próbálja meg kikövetkeztetni azt, hogy most mi lehet a következő jel (döntés), figyelembe véve azt, hogy korábban milyen jel szokott következni az után a mintázat után, amit most a sorozat végén lát. Természetesen ezt meg lehetne nézni különböző hosszúságú, tehát akár rövidebb részsorozatokra is, de most a lehetséges legnagyobbat vesszük, mert ha van függés, akkor várhatóan ez tartalmazza a legtöbb információt, tekintettel arra, hogy egy nagyobb sorozatnak része a kisebb.

Visszatérve tehát a metódusra, vesszük a leghosszabb szakaszt a sorozatunk végén, ami más helyeken is előfordul. Megnézzük, hogy ez után a szakasz után a korábbi előfordulásai alkalmával milyen jel volt a rákövetkező, és megszámoljuk, hogy hányszor volt + jel a szóban forgó szakasz után (mondjuk N1-szer), és hányszor következett utána - jel (legyen N2 ilyen hely). Természetesen lehetséges, hogy valamelyik előfordulási gyakoriság zérus, például azért mert összesen csak egyszer fordult elő az adott szekvencia. A mért gyakoriságokból ezután valószínűségeket kreálunk: p1 = N1/(N1+N2), p2 = N2/(N1+N2). p1 tehát annak a valószínűsége, hogy eddig mekkora valószínűséggel következett + ilyen szekvenciák után, p2 pedig annak a valószínűsége, hogy eddig mekkora valószínűséggel következett - ilyen szekvenciák után.

Brian nem akarja, hogy a statisztikák megfigyelésével kitalálják, hogy mekkora valószínűséggel dönt így vagy úgy, de azt sem akarja, hogy a viselkedése determinisztikus legyen, ezért a két valószínűséget egyszerűen megcseréli, reménykedve abban, hogy ilyen duplagondolra még a mozgását követő okosalkalmazások sem gondolnak. Egy adott lépés előtt tehát mindig kiszámolja p1 és p2 értékét, és p1 valószínűséggel lép hazafelé, illetve p2 valószínűséggel a munkahely irányába. Természetesen abban a speciális esetben, ha p1 vagy p2 értéke éppen 1, akkor ez determinisztikus lesz abban a lépésben.

Mi a valószínűsége annak, hogy Brian 8-ra beér dolgozni, azaz 10 további lépésen belül eléri a végállomást, ami az otthonától 10 megállónyira van? Feltesszük, hogy ha eléri a végállomást, akkor már mindenképpen bemegy dolgozni, ha pedig visszatér a kiinduló állomásra, ahol felszállt, akkor hazamegy.

Bónusz kérdések haladóknak: Munka nélkül hány perc múlva juthat legkorábban haza? Mi a valószínűsége annak, hogy végtelen sokáig a metrón marad?

Nehézségi szint:

A megfejtéseket részletes magyarázattal együtt az eszventura@qubit.hu címre várjuk. A leggyorsabb és legkreatívabb megoldást küldő versenyzőink felkerülnek az Ész Ventura dicsőségfalára, közöttük és minden jó megoldást beküldő versenyző között év végén nyereményeket sorsolunk ki. Fiatal megoldóinktól kérjük, hogy tüntessék fel életkorukat és évfolyamukat, mert körükben különdíjakat is ki fogunk sorsolni. Az e-mail subject mezőjében kérjük továbbá sorszámmal jelezni, hogy melyik feladvány megoldásáról van szó. Beküldési határidő: december 30. éjfél.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.