Túlélő család című feladványunk lényegében azt a kérdést tette fel, hogy a Föld lakosságának hányad része gyászolna, ha végigsöpörne még egy, a koronavírustól független, de ahhoz hasonló járvány a bolygón. Pontosabban a fordítottjára kérdeztünk rá, ugyanis az volt a feladat, hogy megmondjuk, mekkora a valószínűsége annak, hogy egy család úgy vészel át két ilyen járványt, hogy nincs halálozás a szűk családi körben. Példánkban három gyereket, szülőket és nagyszülőket tartalmazott a család, és igyekeztünk nagyságrendileg reális adatokat megadni a járvány tulajdonságait illetően.

Példánkban feltettük, hogy járvány alatt 50% a valószínűsége, hogy egy középkorú szülő háztartáson kívüliektől megfertőződik, az iskolás gyerekek esetén ez 60%, míg az elővigyázatosabb idős nagyszülők esetén 40%. Azt vettük, hogy abban az esetben, ha egy családtag megfertőződik, akkor a fertőzött családban 90% valószínűséggel kapja el a vírust egy még nem fertőzött családtag, függetlenül attól, hogy hány fertőzött van a családban. Feltételeztük továbbá, hogy a fenti család három külön háztartásban él: a szülők a gyerekekkel, a nagyszülők pedig két külön háztartásban.

Az volt a kérdés, hogy abban az esetben, ha a vírus halálozási aránya gyerekeknél 1%, középkorúaknál 3%, időseknél 5%, tehát a fertőzöttek közül ennyien halnak meg (újrafertőzés nem számít), akkor egy teljesen új, de hasonló fertőződési és halálozási paraméterekkel rendelkező vírus okozta járvány után mi a valószínűsége annak, hogy a fenti családban nem szed egyetlen áldozatot sem a két járvány?

A nagyszülők háztartása

Kezdjük a nagyszülőkkel, mert az ő háztartásuk kisebb is és homogén, ezért sokkal könnyebb lesz számolni. Legyen p = 0,4 a kívülről történő megfertőződés esélye, w = 0,9 a továbbadás esélye. A két nagyszülő egymástól függetlenül fertőződik vagy nem fertőződik meg kívülről, ezért az alábbi esetek és esélyek lehetségesek:

• p·p valószínűséggel mindketten megfertőződnek kívülről,
• p·(1-p) valószínűséggel csak a nagymama fertőződik meg,
• (1-p)·p valószínűséggel csak a nagypapa fertőződik meg,
• (1-p)·(1-p) valószínűséggel egyikük sem fertőződik meg.

Ellenőrzésképpen összeadhatjuk ezt a négy számot, és 1-et fogunk kapni, vagyis nincs más lehetőség. Az első esetben a háztartáson belüli továbbfertőzés lényegtelen, az utolsó esetben pedig nem lehetséges. Ha csak az egyikük fertőződik meg kívülről, akkor viszont 90% eséllyel fertőzi meg még a másikat is, összességében tehát egy járvány során

• p·p + w·2·p·(1-p) valószínűséggel mindketten megfertőződnek,
• (1-w)·2·p·(1-p) valószínűséggel csak az egyikük fertőződik meg,
• (1-p)·(1-p) valószínűséggel egyikük sem fertőződik meg.

Ha behelyettesítjük a konkrét számokat, akkor láthatjuk, hogy elég komoly esélye (kb. 59%) van annak, hogy mindketten megbetegednek, a családon belüli terjedés ugyanis sokat számít (anélkül csak 16% lenne). De ha a családon belüli átadás valószínűsége nem lenne olyan magas, hanem mondjuk csak 75%, akkor sem csökkenne sokat ez a valószínűség, még mindig 50% fölött lenne (52%).

Nézzük most azt, hogy mi a valószínűsége annak, hogy semelyik nagyszülő nem veszíti életét a kétfős háztartásban. Az idősekre vonatkozó halálozási arányt jelöljük q-val (q = 0,05). Ha mindketten megfertőződtek, akkor azt kell néznünk, hogy egymástól függetlenül mindketten életben maradnak, aminek az esélye (1-q)·(1-q). Ha csak az egyikük fertőződik meg, akkor pedig szimplán (1-q) az életbenmaradási esély. Ha egyikük sem fertőződik meg, akkor erre az esetre kondicionálva 100% a túlélési esély. Összességében az életbenmaradási esélyeket az egyes esetek előfordulási valószínűségével súlyozva kell összeadnunk, ami az alábbi számokat jelenti:

• (1-q)·(1-q) × [p·p + w·2·p·(1-p)],
• (1-q) × [(1-w)·2·p·(1-p)],
• (1-p)·(1-p).

Ha elvégezzük a számolást, akkor azt kapjuk, hogy kb. 94% a valószínűsége annak, hogy az egyik szülői ágon mindkét nagyszülő átvészeli a járványt.

Vegyes háztartás

A szülők és gyerekek háztartására vonatkozóan kicsit hosszabb a számolás, mert öten vannak, ezért 2^5 = 32 lehetséges eset van arra vonatkozóan, hogy kívülről kik kapják el a fertőzést, és kik nem. A számolást itt most nem részletezzük teljes egészében. Meglepő, hogy egy háromgyerekes család esetében annak a valószínűsége, hogy az egész család beteg lesz, e modell szerint majdnem 79%, és végeredményben a sok családtag miatt a teljes család túlélésének esélye is alacsonyabb lesz, mint az a nagyszülők esetében volt – körülbelül csak 92%.

Tehát azt kaptuk, hogy egy járvány esetén a gyerekes családra x = 0,92 a teljes túlélés esélye, a nagyszülők háztartására pedig y = 0,94, de ezekből ugye kettő van. Ahhoz, hogy mind a három háztartás túlélje az egyik járványt, külön-külön egymástól függetlenül túl kell éljék, ezért a túlélési valószínűségeket szoroznunk kell (x·y·y), így 81%-ra jön ki annak a valószínűsége, hogy mind a három háztartás túléli az egyik járványt. Annak a valószínűsége, hogy mindkét járványt túléli mindenki, ennek a négyzete (0,81·0,81), ami kb. 66%. Itt természetesen feltettük, hogy a két vírus független egymástól, vagyis senki sem szerzett immunitást. Egyszerű modellünk szerint tehát a családok harmada gyászol két ilyen járvány után közvetlen közeli családtagjai miatt, de ne feledjük, hogy a családok sok esetben kiegészülnek unokatestvérekkel, adott esetben dédszülőkkel és távolabbi rokonokkal.