Ész Ventura: Vágd fel a szőnyegedet négy részre!

Nincsen túlélhető és fenntartható jövőnk tudomány nélkül, ahogy nekünk sincsen nélkületek. Támogasd a Qubit munkáját!

Szőnyegforgatás című feladványunkban az volt a kérdés, hogy hányszor nagyobb munka teljesen körbeforgatni egy téglalap alakú szőnyeget az egyik csúcsa körül, mint a középpontja körül.

A feladatot számolás nélkül is meg tudjuk oldani. Vágjuk a szőnyeget a téglalap két középvonala mentén négy egybevágó részre. Így feleakkora téglalapokat kapunk, mint az eredeti, és mindegyiknek lesz egy csúcsa, ami épp az eredeti középpontjába esik. Ilyen módon a középpontja körül forgatott szőnyeg felbontható négy hasonló szőnyegdarab csúcs körüli forgatására. Továbbá megállapíthatjuk azt is, hogy  a darabokkal is éppen egy teljes fordulatot kell tegyünk, hogy ugyanoda kerüljenek vissza.

A munkát a súrlódási erő végzi. A szőnyeg egyes darabjaira vízszintesen ható súrlódási erő a talaj és az adott darab között fellépő nyomóerővel, azaz a darab súlyával lesz arányos, ami pedig a darabka felületével arányos, feltételezve, hogy a szőnyeg homogén tömegeloszlású a talaj mentén. A súrlódási erő által végzett munka pedig az adott elemi szőnyegdarabka által megtett úttal lesz arányos. Minden szőnyegdarabka a forgatási középpont körüli köríven mozog, és pont egy teljes kört tesz meg a forgatás során, de a körív nagysága a forgási középponttól való távolsággal lesz arányos.

Legyen W az a munka, amivel a szőnyeget csúcsa körül teljesen körbe tudjuk forgatni. Kicsinyítsük most felére a szőnyeget, és forgassuk továbbra is a csúcsa körül. A felülete negyede lesz, a megtett utak felére csökkennek, tehát összességében nyolcadára csökken a végzett munka. Ha viszont négy ilyen felére kicsinyített darabból tesszük össze az eredeti szőnyeget, amit most már középpontja körül forgatunk, akkor négyszer kell W/8 munkát végeznünk. 

Összességében tehát fele akkora munka a nagy szőnyeget középpontja körül forgatni, mint a csúcsa körül egy teljes fordulatot. Vagyis a középpontja körül kétszer tudnánk körbeforgatni ugyanannyi munka befektetésével, mint amennyi a sarka körüli forgatáshoz kell.

Érdekesség, hogy ha a szőnyeget középpontja körül forgatjuk, de csak egy fél fordulatot teszünk, akkor is ugyanoda és ugyanolyan állásba kerül vissza a téglalap a szimmetriája miatt, csak a csúcsai megcserélődnek. Ebben az esetben negyedakkora munka is elég lenne ahhoz képest, amennyit egy teljes fordulatra kellene fordítani, ha a szőnyeget a csúcsa körül fordítanánk.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus és bűvész.