2020 legelején éppen fél éve halmozódott az ötöslottó várható főnyereménye, és A telitalálatmentes év című feladványunkban feltettük azt a kérdést, hogy mi a valószínűsége annak, hogy még fél évig nem lesz telitalálat, amikor is a játék szabályzata szerint életebe lépett volna az a forgatókönyv, hogy a főnyereményre elkülönített összeget szétosztják az alsóbb nyereményosztályokban. A főnyereményt, majdnem hat és félmilliárd forintot végül március végén elvitték.

Az év legelső Ész Ventura feladványának megoldói között a Fontanus Alaptvány jóvoltából az általuk fejlesztett Castle of Mind nevű társasjátékot sorsoltuk ki, amely a tavalyi Ország Játéka versenyen két díjat is besepert. A nyertes Körmöczi Koppány lett, akinek a megoldását az alábbiakban foglaljuk össze.

A gép nem ember

A feladat megoldása során a könnyebbség kedvéért megengedett volt, hogy feltegyük azt, hogy minden játékos gépi szelvénnyel játszik. A gépi szelvény számait a lottózókban lévő számítógép sorsolja véletlenszerűen, ami jól modellezhető – ha emberek választanák a számokat, tudnunk kellene, hogy mely számokat milyen gyakran teszik meg. Az lottózók nagy része ugyanis preferál bizonyos számokat, gyakran tesznek meg például születési dátumokat. Az emberek által megtett számok valódi eloszlásáról némi információt kaphatunk a rovat szerzőjének egy korábbi cikkéből, most azonban feltehetjük, hogy egyenletes az eloszlás, és egyik szám sem kitüntetett.

Annak az esélye, hogy egy szelvény öttalálatos legyen p = 1/43949268, ennek a kiszámolását a kedves olvasóra bízzuk, de egyébként az ötöslottó honlapján is fel vannak tüntetve a nyerési esélyek. Ha egy héten N darab egymástól függetlenül kitöltött szelvényt adnak fel, akkor (1-p)^N annak a valószínűsége, hogy egyik szelvény sem öttalálatos. Mármost ha minden további héten is csak N játékos játszana, akkor annak a valószínűsége, hogy 26 héten keresztül ne legyen telitalálat, az ((1-p)^N)^26 = (1-p)^26N. Ez az eset azonban akkor lenne, ha a növekvő nyereményösszeg nem vonzana be új játékosokat. A Szerencsejáték Zrt. tájékoztatása alapján a nyereménytől függetlenül körülbelül 3,5 millió szelvényt adnak el hetente. Ha N helyére ezt helyettesítjük, akkor (1-p)^26N ≈ 12.6% adódna arra, hogy a következő fél évben sem viszi el senki a főnyereményt. Ez tehát egy felső becslés, ami feltételezi, hogy a növekvő nyereményösszeg nem vonz be új játékosokat hétről-hétre.

Kis kitérő: Nem kell a hírekhez fordulnunk ahhoz, hogy megtudjuk, hányan szoktak szelvényt feladni. A feladat szövegében is szerepelt, hogy használhatjuk korábbi ötöslottó-sorsolások statisztikáját, amely elérhető a Szerencsejáték Zrt. honlapján. Megnézhetjük például, hogy átlagosan hány kéttalálatos szelvény szokott lenni, ez kb. 80 000, és ha tudjuk, hogy a kettes találat valószínűsége 2,25% körül van, akkor ebből vissza lehet következtetni arra, hogy hány szelvényt adnak fel. Ebből a becslésből N ≈ 3,56 millió szelvény adódik, igaz itt most egy átlagot néztünk, nem a minimumot, de a hírekben közölt adattal nagyon jól egyezik.

Ha nagyobb a nyeremény, többen játszanak

Mármost nézzük azt, hogyan vehetjük figyelembe, hogy a növekvő nyereményösszeggel nő a játékosok száma is. Természetesen ezt is az adatokra kell illesztenünk és interpolálnunk kell – azaz kivetíteni a trendet a jövőre –, hiszen még soha nem volt olyan, hogy egy teljes évig ne lett volna telitalálat. A folyamat két részre bontható: egyrészt attól függ a nyeremény növekedése, hogy hányan játszanak, vagyis mennyi összeg folyik be a szelvények árából, viszont az új játékosokat a növekvő nyereményösszeg vonzza, tehát ez egy öngerjesztő folyamat. Bár a folyamat első részét a lottó szabályzata pontosan leírja, és szimulálhatnánk is, ez fölösleges, hiszen a második folyamatot mindenképpen empirikusan kell illesztenünk, tehát egyszerűbb, ha a két folyamatot egybevesszük: minket úgyis csak a játékosok számának növekedési üteme érdekel, nem a nyeremény növekedése, bár ez utóbbi is érdekes kérdés.

Mivel öngerjesztő folyamatról van szó, amit tipikusan exponenciális növekedés szokott jellemezni, ezért a szelvényszám időbeli változására érdemes egy exponenciális görbe illesztésével próbálkozni, addig a pontig, amíg van rá adat. Pontosabban a közölt statisztikából nyilvánosan elérhető kettes találatok számára illesztünk – ahogy azt már fentebb kifejtettük –, ami kis fluktuációktól eltekintve arányos a feladott szelvények számával. Az exponenciális modell elfogadhatóan illeszkedik, és ha ezt használjuk, akkor ez azt jelenti, hogy a szelvények száma lényegében mértani sorozatot követ hétről hétre, a kvóciensre pedig körülbelül 1,018 adódik.

Ha ezek után végigvisszük a számolást a mértani sorozat szerint változó szelvényszámmal, akkor végül 2,5% körüli érték adódik arra, hogy még fél évig nincsen telitalálat. E szerint a forgatókönyv szerint az utolsó héten majdnem 8 millió szelvényt adnának föl, és csak az utolsó héten körülbelül 1 milliárd forinttal nőne a nyereményösszeg. Egy játékos több szelvényt is feladhat ugyan, de mivel a teljes magyar felnőtt lakosság létszáma limitált, ezért lehetséges, hogy a feltételezett exponenciális növekedés nem tart ki végig, ezért a 2,5% inkább alsó becslésnek tekinthető – igaz, nagy nyeremények idején a környező országokból is át szoktak jönni játszani.

Kapcsolódó cikk a Qubiten: