Az Egyesült Államokban az 1970-es években futott egy népszerű televíziós vetélkedő, a Kössünk üzletet! (Let’s Make a Deal). A show felépítése miatt a műsor házigazdája, Monty Hall önkéntelenül is egy híres valószínűség-számítási probléma szendvicsemberévé vált; nem véletlen, hogy a matematikusok is gyakran csak Monty Hall-problémaként emlegetik a jelenséget.

A tévéműsor egyik részében a játékosoknak három ajtó közül kellett választaniuk. Az egyik ajtó mögé értékes nyereményt rejtettek (egy szuper sportkocsit, például), míg a másik kettő mögött többnyire zavarba ejtő hülyeségek voltak – mondjuk egy kecske. (Magyarországon a műsorformátum Rózsa György nevéhez fűződik. A Zsákbamacsknak és a Monty Hall-problémának a Qubit fejtörőrovata, az Ész Ventura is emléket állított egyik négykoponyás erősségű feladványában és a megoldásában.)

A játékos kiválasztott egy ajtót, majd Hall is kinyitott egyet – persze nem azt, amelyik mögött a főnyeremény volt. Az ajtónyitás után Hall megkérdezte a játékost: kitart az első választása mellett, vagy mégis inkább a másik csukott ajtót nyitná ki?

Te hogyan döntenél? A játékosok többsége ragaszkodott az eredeti döntéshez, mert azt gondolták, hogy ugyanakkora az esélyük a győzelemre. Pedig matematikai-valószínűségszámítási szempontból nagyobb esélye van a győzelemre annak, aki újragondolja a választási lehetőségeit.

Mondhatod, hogy mindegy, melyik ajtót választod, hiszen ugyanakkora esélyed van jól vagy rosszul dönteni. De gondoljuk csak végig: a játékosnak 1/3 (egy a háromhoz) esélye van a győzelemre az első ajtóválasztásnál. Hall ajtónyitása azonban kiszűr egy rossz választási lehetőséget, így a második körben, ha változtat, a győzelmi esélye 2/3-ra nő. Hiszen az első választás esélye nem változik, marad 1/3, míg a másik kettő esélye közösen 2/3, és a nyitás után ezt a teljes 2/3 esélyt a harmadik ajtó örökli. (És a valószínűségek összege persze 1, azaz ha minden ajtót kinyitunk, akkor nyilván 100%, hogy megtaláljuk a főnyereményt.)

Ez a valószínűségszámítási probléma (ha érdekel a téma, itt egy angol nyelvű, de érthető levezetés) sok matematikusnak, köztük Erdős Pálnak adott rengeteg gondolkodnivalót; ne bosszankodj hát, ha elsőre rajtad is kifogott.

Lehet-e intuitív a valószínűségszámítás?

Nem véletlen, hogy ilyen nehezen fogjuk föl a valószínűségszámítási problémákat; az evolúció során másfajta problémák megoldására formálta az agyunkat és az ösztöneinket, nem a szerencsejátékok győzelmi esélyeinek latolgatására.

„A valószínűség nem intuitív természetű. Abban vagyunk jók, hogy számon tartsunk dolgokat: például a közvetlen veszélyt jelentő fenyegetés felismerésében, meg a hasonló események felidézésében. De azokban a gondolatkísérletekben, amik egy-egy esemény várható megtörténését boncolgatják, már nem vagyunk túl jók. Az agyunk egyszerűen nem a valószínűségre van berendezkedve.”

– mondta a Discover Magazine-nak Regina Nuzzo, a Gallaudet Egyetem statisztika- és matematikaprofesszora.

Két Nobel-díjas izraeli kutató, Amos Tversky és Daniel Kahneman 1974-es tanulmányukban (Judgment under uncertainity: Heuristics and biases: Biases in judgment reveal some heuristics of thinking under uncertainity) levezették, hogy az emberi agy azért küszködik a valószínűségszámítással, mert az agy fizikailag akadályozza a megértés agykémiai folyamatát: egyes mentális torzítások (bias), és az agyunk néhány működési sajátossága miatt nehézkesebb az ilyen irányú gondolkodásunk.

Dor Abrahamsont, a kaliforniai UC Berkeley kognitív tanszékének matematikusát lenyűgözte a gondolat, hogy minden ember agyáról ösztönösen és egyformán pattan le valószínűségszámítás. Nem vetette el a Trevsky–Kahneman-páros eredményeit, de máshonnan közelítette meg a jelenséget. Abrahamson szerint igenis tudunk intuícióval közelíteni a valószínűségszámítási kérdésekhez – feltéve, hogy a probléma megoldása során a helyes kérdéseket teszzük fel.

Tanuljatok meg jól kérdezni!

Abrahamson pénzfeldobással illusztrálta a jelenséget. Ha háromszor egymás után feldobsz egy érmét, és mindig ugyanarra a felére esik, nem sok esélyt adsz rá, hogy negyedszerre is ez fog történni, igaz? Sokan gondolják így, pedig a dobások független események, és a két oldal előfordulási valószínűsége minden körben 50-50 százalék. Mindig annyi volt, mindig annyi lesz, de az intuíciónk mást sugallnak.

Vegyünk egy másik sorozatot; jelöljük az érme két oldalát F-fel (fej) és I-vel (írás). Mit gondolsz, ha négyszer egymás után feldobjuk az érmét, a FIFI vagy az FFFF variáció valószínűsége lesz a nagyobb? A többség ösztönösen rávágja, hogy a FIFI-é – pedig dehogy. Az előbb is leírtuk, hogy minden dobásnál ugyanakkora eséllyel jöhet ki a fej és az írás. A korábbi dobások eredménye irreleváns, hiszen – fogalmazott Abrahamson –„az érmének nincs memóriája”.

Pénzfeldobásnál egy négyes sorozatból összesen 16 különböző variáció jöhet ki; és mindegyiknek egyforma, 1/16 (egy a tizenhathoz) a valószínűsége:

FFFF FFFI FFIF FFII
FIFF FIFI FIIF FIII
IFFF IFFI IFIF IFII
IIFF IIFI IIIF IIII

Ha azért gondoltad, hogy a FIFI előfordulási esélye nagyobb, mint az FFFF-é, mert egy négyes sorozatban nagyobb eséllyel fordul elő egy kétfejes-kétírásos variáció, mint egy négyfejes-négyírásos, jól gondoltad: az előbbinek tényleg hatszor nagyobb a valószínűsége. Kétfejes-kétírásos variációkból hatféle van:

FFII FIFI FIIF
IFFI IFIF IIFF

...de négyfejes-négyírásosból csak egy-egy:

FFFF IIII

A válaszadásnál figyelmen kívül hagytad, hogy nemcsak a kombinációk száma, hanem a sorrendje is releváns, ez utóbbit hívják a valószínűségszámításban egyébként "variációknak". Vagyis ösztönösen jó választ adtál, csak éppen a probléma megoldásakor nem a helyes kérdésre kerested a választ.

A valószínűségszámítást az időjárás-előrejelzéstől a víruskockázat-felmérésig számos területen használják. Éppen ezért nem árt észben tartani: gyakran azért hibázunk vagy hozunk rossz döntéseket, mert egy probléma megoldásánál nem a helyes kérdésekre próbálunk válaszokat találni.

Kapcsolódó cikkek a Qubiten: