Hálózatok az élet minden területén előfordulnak: a közlekedés, a kereskedelem, az internet, a társadalom, az anyagok szerkezete és az agy egyaránt leírható hálózatként, vagy matematikai szóval gráfként. A valódi hálózatokban a legérdekesebb jelenségek a fázisátalakulások: a jég felolvad, az üveg eltörik, kitör a forradalom vagy a bankpánik, létrejön egy társadalmi norma, elterjed egy álhír vagy egy világjárvány.

Ezeknek a teljesen különböző jelenségeknek sokszor nagyon hasonló matematikai magyarázatuk van. A Qubiten rendszeresen közreműködő Csóka Endre matematikus, a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet munkatársa és kutatócsoportja arra törekszik, hogy leírja a legegyszerűbb matematikai struktúrákban fellelhető fázisátalakulásokat, ami hosszú távon a felsorolt gyakorlati példák jobb megértését is segíti.

A kutatócsoport Véletlen gráfok és lokális algoritmusok című kutatási projektje júniusban 218,4 millió forintot nyert az elkövetkező öt évre a Nemzeti Kutatási, Fejlesztési és Innovációs Hivatal Élvonal Kutatási Kiválósági Programján. (A program olyan kutatókat támogat, akik nemzetközileg is megállják a helyüket, a viszonyítási pont pedig az Európai Kutatási Tanács (ERC) pályázati rendszere. A támogatott pályázatok között voltak a Qubit két további közreműködője, Kubinyi Enikő etológus és Molnár László csillagász nevéhez fűződő kutatási projektek is. Molnár a Qubiten is bemutatta az általa vezetett kutatócsoport terveit.)

A Csóka és társai nevéhez fűződő kutatás fő célja, hogy megértsék a véletlen gráfok struktúráját. Alapvető célkitűzés a kutatásban a véletlenség mibenlétének jobb megértése, továbbá annak a filozofikus kérdésnek a megválaszolása, hogy vajon tényleg a véletlen gráfok a legstruktúrálatlanabbak-e. Ezen belül a kutatók első közvetlen kérdése a maximális független halmaz mérete olyan véletlen gráfokban, ahol minden csúcsnak (hálózati csomópontnak) ugyanannyi szomszédja (hálózati összeköttetése) van. Ez ugyanis a legegyszerűbb matematikai struktúra, amiben megfigyelhető egy még kevéssé megértett halmazállapot – a spinüveg halmazállapot – ha a csúcsok szomszédainak száma a 19.14 fázisátalakulási pont alatt van. (Mivel a szomszédok számát fokszámnak nevezik, ezért tehát mondhatjuk, hogy a véletlen reguláris gráfokon a maximális független halmazok 19.14 fokon fagynak meg.)

A kutatás újszerűségét az adja, hogy ezekhez a kérdésekhez bevetik egy új, 21. századi tudományterület, a gráflimeszelmélet eszköztárát. (Lovász Lászó matematikus egyebek mellett a gráflimeszelméletben elért eredményei miatt kapta meg az Abel-díjat.) Ez szemléletesen a következő analógiával mutatható be: bár tudjuk, hogy minden anyag részecskékből áll, egy folyékony vagy légnemű közeget mégis érdemes lehet folytonos dologként kezelni. Az egyes részecskék helyzete és sebessége helyett pedig elegendő bizonyos kiátlagolt mennyiségekre figyelni, mint a hőmérséklet és a nyomás. A gráflimeszelmélet ugyanezt csinálja, csak fizikai részecskék helyett gráfokra (hálózatokra). „Vagyis a nagy gráfokat folytonos dologként írjuk le, és megkeressük a hőmérsékletnek és a nyomásnak a gráfelméleti megfelelőit” – magyarázta Csóka, aki már a doktori disszertációját is ebben a témában írta, Lovász László témavezetése mellett.

A véletlen gráfok a matematika számos területével szoros kapcsolatban állnak, így a kutatás a gráfelmélet, a valószínűségszámítás, a statisztikus fizika és az algoritmikus bonyolultságelmélet eszközeit is használja, de a témának számos kapcsolódása van az ergodelmélethez és a csoporthatásokhoz is. (Az ergodelmélet a statisztikus mechanikának azt az alapfeltevését támasztja alá, miszerint egy egyensúlyi rendszer azonos valószínűséggel tartózkodik minden lehetséges (mikro)állapotában.)

Mint a matematikus kifejtette, a kutatócsoport legfőbb motivációját azonban két dolog adja. Egyrészt hogy „egy nagy gráf globális struktúráit akkor érthetjük meg, ha először megértjük a véletlen gráfok globális struktúráit. A fizikai analógiával élve ez olyasmi, mint hogy előbb értsük meg jól az álló levegő tulajdonságait, és utána könnyű lesz az áramlásokat is hozzávenni az elmélethez.”

A másik motivációt pedig a már említett meglepő fázisváltozások („halmazállapot-változások”) jelentik, amelyeket statisztikus fizikai eszközökkel mutattak meg. Bár ezek egy részére ma már precíz matematikai bizonyítások is vannak, a legtöbb összefüggés megmaradt a fizikus intuíció szintjén. Kutatásuk célja mindezeknek a precíz matematikai megértése „a gráflimeszelmélet új és hatékony eszköztárával”, valamint további összefüggések felfedezése.

A kutatásban ezért tehát a legegyszerűbb matematikai modelleket vizsgálják, amikben fázisátalakulások figyelhetők meg, mert ha ezeket sikerül megérteni, az így szerzett tudás teljesen más és sokkal bonyolultabb környezetekben is hasznosulhat – hiszen számos különböző természettudományos és társadalmi jelenség fázisátalakulásként modellezhető, és sok esetben teljesen különböző jelenségek azonos matematikájú fázisátalakulásokkal írhatók le.

A kutatás egyediségét az adja, hogy a kutatók a gráflimeszelméleti tapasztalatokkal felvértezve igyekeznek jobban megérteni és matematikai precizitással leírni a statisztikus fizikusok gráfelméleti eredményeit. „Rengeteg az egybeesés a két terület fogalmai között, és úgy tapasztaljuk, hogy a gráflimeszelmélet új nyelve komoly egyszerűsítést jelent” – ezzel és a statisztikus fizika megközelítésével a kutatócsoport további összefüggések megtalálását és bizonyítását reméli.

Járványmatek

Csóka tagja volt annak a Suppress 19 tudóscsoportnak, amely a koronavírus-járvány kezdetén egyszerű és gyors tömeges lakossági tesztelést javasolt, és igyekezett kidolgozni ennek elméleti és gyakorlati hátterét. Bár a módszer életeket menthetett volna, nem lett belőle gyakorlat, de az ötlet kiérdemelte a Qubit Év Embere díját 2020-ban. Csóka szerepe ebben az volt, hogy kidolgozta, hogyan lehet kevés vírusteszttel is a lehető legtöbb embert letesztelni arra a trükkre alapozva, hogy ha több ember mintáját összekeverik, akkor egy teszttel megmondható, hogy van-e a csoportban fertőzött. Mindehhez alaposan megértve és figyelembe véve a valódi gyakorlati korlátokat is.

Mint a matematikus a Qubitnek elmondta, azóta is nyomon követi a járványhelyzetet, hiszen itt tömeges élet-halál kérdésről van szó. Szakértőkkel is beszélget, és mint mondta, „mindenki nagyon aggódik, hogy ebből a nyert helyzetből ismét el fogjuk veszíteni a meccset.”

Csóka szerint olyan a védekezés, mintha az erdőtüzet csak akkor kezdenék el komolyan venni, amikor már ég a fél erdő. Pedig kiváló vakcinák állnak rendelkezésre, minimális a fertőzöttek száma, és még a delta variáns sem terjed itthon, a nyárral tehát megint időt nyert az ország.

,,A tudományos élet környékén dolgozó összes ismerősöm beoltatta magát, minden komoly érv mellette szól, csak a tudatlanság szól ellene.'' Emellett csupán olcsó és kis kényelmetlenséggel járó intézkedésekre lenne szükség. Például nem szabadna engedni, hogy bárki tömegközlekedésen maszk nélkül folyamatosan köhögjön, csoportos tesztelésekre, kontaktkutatásra, és a fertőzöttebb országokból való beutazások szigorítására lenne szükség, „és persze kellene egy előre kihirdetett terv, hogy ha egy területen mégis terjedésnek indulna a delta vagy delta+ variáns, akkor milyen helyi szigorítással fojthatjuk el csírájában”. A matematikus szerint ezekre a kis kényelmetlenséget jelentő intézkedésekre is csak addig lenne szükség, amíg be nem oltják majdnem a teljes lakosságot, hiszen az oltottak körében 1 alatt van a vírus terjedési rátája.

„Sajnos azt látom, hogy egyáltalán nem ezt csináljuk. Ami azzal fenyeget, hogy megint felfut a járvány, ami újabb országos lezárásokhoz, gazdasági károkhoz és újabb sok ezer magyar ember értelmetlen halálához fog vezetni.”

Kapcsolódó cikkek a Qubiten: