Ész Ventura: Itt a válasz az élet nagy kérdésére

A Baal főtemplomának ládái című feladványt Raymond Smullyan amerikai matematikus, feladványszerző és bűvész tiszteletére tűztem ki, és a Typotex kiadó jóvoltából az egyik legismertebb feladványos könyvét sorsoltuk ki a helyes megfejtők között, aminek a címe: Mi a címe ennek a könyvnek? Drakula rejtélye és más logikai feladatok.

A feladvány története szerint három vándor az élet nagy kérdésére keresi a választ, és eljutnak Baal főtemplomához. A belső szentélyben van három láda: egy arany, egy ezüst és egy ólom. Az egyik láda üres, egy másik ládában hamis válasz van, a harmadik ládában pedig ott a helyes válasz. Két vándor az éj leple alatt beoson a szentélybe, és egyikük a ládákra az eredeti feliratok mellé új feliratokat is tesz, a másik pedig véletlenszerűen megforgatja a ládákat, így nem lehet tudni melyik felirat volt rajtuk az eredeti.

Illusztráció: Gáspár Merse Előd

A főpap viszont elárulja a harmadik vándornak, hogy az eredeti igaz feliratok alapján egyértelműen ki lehetett találni, hogy melyik ládában van a helyes válasz, és ha a vándor elég bölcs, még így is rájöhet a megoldásra. A ládákon az alábbi feliratok szerepelnek, hogy a kettő közül melyik az eredeti, azt egyik ládánál sem tudjuk. Vagy mégis kitalálható?

Az aranyláda feliratai:

A1: Ha az ezüstládában nem a rossz válasz van, akkor az ólomládában van a rossz válasz.
A2: Ha az ólomláda nem üres, akkor az ezüstláda üres.

Az ezüstláda feliratai:

B1: Vagy üres az ezüstláda, vagy az ólomládában van a helyes válasz, vagy az aranyládában van a rossz válasz.
B2: Ha az ólomládában nem a rossz válasz van, akkor az aranyládában van a rossz válasz.

Az ólomláda feliratai:

C1: Ha az aranyládában nem a rossz válasz van, akkor az ezüstládában van a rossz válasz.
C2: Ha az ezüstláda nem üres, akkor az aranyláda üres.

Nézzük hány lehetőség van a mondatok eredetiségre vonatkozóan. Minden ládán két felirat van és nem tudjuk melyik lehet az eredeti közülük. Összesen tehát 2×2×2, azaz nyolc eset lehetséges, hogy melyek lehetnek az eredeti állítások. Ezt soroltuk fel az alábbi listában.

A1, B1, C1
A1, B1, C2
A1, B2, C1
A1, B2, C2
A2, B1, C1
A2, B1, C2
A2, B2, C1
A2, B2, C2

Ezt a nyolc esetet nem olyan hosszadalmas végignézni. Ezek közül olyan esetet keresünk, amikor egyértelmű, hogy melyik ládában van a helyes válasz.

A jó válasznak (J), a rossz válasznak (R) és a semminek (S) hatféle kombinációja van, ha ki akarjuk őket osztani rendre a három láda között arany, ezüst, olóm sorrendben. A fenti nyolc eset mindegyikében tehát hat lehetőséget kellene megnéznünk, hogy mely kombinációk esetén teljesülnek az állítások, amikoris az adott állítások akár eredetiek is lehetnek. Fontos, hogy a nem eredeti felirat is lehet igaz, többen tévesen úgy értelmezték, hogy minden ládán az egyik felirat biztosan igaz, a másik pedig biztosan hamis.

Mivel a fenti nyolcas listában egy-egy állítás többször is szerepel, ezért érdemes az esetek végignézése előtt minden állításra (A1, A2, B1, B2, C1, C2) külön megadni, hogy a hat kombinációból (JRS, JSR, RJS, RSJ, SJR, SRJ) mely eseteket engedik meg az adott állítás. Ráadásul, ha így járunk el, akkor most már a logikai probléma helyett lényegében egy halmazelméleti problémát kapunk. A kérdés ugyanis az lesz, hogy a nyolc eset közül melyik az, ahol az állításokhoz tartozó megengedett kombinációk halmazainak egy közös metszetük van, vagy legalábbis a megengedett kombinációkban a J pozíciója egyértelmű.

Nézzük tehát,  milyen kombinációkat engednek meg az egyes állítások. Fontos észrevétel, hogy a Ha X, akkor Y típusú mondatok azokat a kombinációkat korlátozzák, amiben X teljesül, ekkor ugyanis Y-nak is teljesülnie kell, tehát X-nek és Y-nak egyszerre kell teljesülnie, azonban a fenti állítás megengedi, hogy X ne teljesüljön, és ebben az esetben az állítás semmit nem mond, tehát minden kombináció megengedett, amiben X nem teljesül.

A1: JRS, SRJ, SJR, JSR
A2: JRS, RJS, JSR, RSJ
B1: JSR, RSJ,SRJ, RJS
B2: JSR, SJR, RJS, RSJ
C1: RJS, RSJ, JRS, SRJ
C2: JSR, RSJ, SJR, SRJ

Ezek után egyszerűen végignézhetjük, hogy a korábban felsorolt nyolc esetben mi az eredeti állításokhoz tartozó lehetséges kombinációk közös metszete. Ehhez érdemes egy táblázatot készíteni, ahol a hat állításhoz tartoznak sorok és a hat kombinációhoz oszlopok, és egy plusz jelet rakunk oda, ahol a sorhoz tartozó állítás megengedi az oszlophoz tartozó kombinációt. Ezután  a megfelelő három  sort kiválasztva könnyebben látható, hogy mi lesz a közös metszet, ahol mindhárom sorban plusz jel szerepel. Az egyes esetekben ezek lesznek a megengedett kombinációk:

A1, B1, C1: SRJ
A1, B1, C2: JSR, SRJ (több lehetőség, J különböző pozícióban)
A1, B2, C1: nincs közös
A1, B2, C2: JSR, SJR (több lehetőség, J különböző pozícióban)
A2, B1, C1: RJS, RSJ (több lehetőség, J különböző pozícióban)
A2, B1, C2: JSR, RSJ (több lehetőség, J különböző pozícióban)
A2, B2, C1: RJS, RSJ (több lehetőség, J különböző pozícióban)
A2, B2, C2: JSR, RSJ (több lehetőség, J különböző pozícióban)

Láthatjuk, hogy az egyik esetben nincs megoldás, hat esetben két megoldás is van, és a J pozíciója a két megoldásban különbözik, tehát nem egyértelmű a megoldás arra vonatkozóan, hogy melyik ládában van a jó válasz. Az egyetlen egyértelmű megoldás az A1, B1, C1 állítások esetén áll fenn, tehát akkor, amikor minden ládán az első állítás az eredeti, és ekkor SRJ az egyetlen kombináció, ami megvalósulhat, vagyis a jó válasz az ólomládában van.

Több mint negyven megoldás érkezett, a helyes megoldók közül pedig a kisorsolt nyertes Nagy-Mihály Márk, aki úgy kezdte levelét, hogy küldi élete első megoldását egy Ész Ventura feladványra. Érdemes tehát beküldeni, az év végi sorsolás is hamarosan következik, és ott is mindenkinek lesz esélye, annak is, aki csak egyetlen megoldást küldött az egész év során.