Ész Ventura: 17 kavics 3 pohárba, de nem akárhogy!

Három pohár és a kavicsok című feladványunkban az volt a feladat, hogy három pohárba osszunk el pontosan 17 darab kavicsot úgy, hogy a végén minden pohárban prímszámnyi kavics legyen, de ne legyenek olyan poharak, amik azonos számú kavicsot tartalmaznak. Minden kavicsnak pohárba kell kerülnie.

Aki nem oldotta meg annak idején, tegyen most egy próbát, mielőtt tovább olvas!

A poharakban lévő kavicsok számának prímszámoknak kell lenniük, ezért a szóba jöhető 17-nél kisebb prímek a következők: 13, 11, 7, 5, 3, 2. Aki viszont úgy gondolkodott, hogy ezekből kellene három különbözőt választani, amelyek összege 17, az sajnos akárhogyan próbálkozott, nem találhatott megoldást.

A trükk az, hogy a poharakat egymásba kell helyezni. Így viszont már 15 különböző megoldást is lehet találni, például a felső pohárba teszünk 11 kavicsot, a középsőbe 2-őt, és a legalsóba 4-et, ilyen módon az alsó pohárban összesen 17 kavics lesz, mert mindegyik fölötte van, a középsőben 13, hiszen a legalsó 4 kavics nincs benne, a felsőben pedig 11, ami szintén prím. Láthatjuk, hogy mivel 17 prím, ezért az alsó pohárban automatikusan prímszámnyi kavics lesz, ha mindhárom poharat egymásba rakjuk. A lényeg az, hogy az alsó pohárba annyi kavicsot rakjunk, hogy azt 17-ből kivonva prímet kapjunk, és hogy a legfelső pohárba is prímszámnyi kavics kerüljön.

Ne feledjük azonban, hogy ha az összes megoldást keressük, akkor az is egy lehetőség, ha nem minden poharat rakunk egymásba, csak kettőt. Könnyű azonban belátni, hogy ilyen megoldás nem lesz. Vegyük ugyanis a két legalsó poharat: ezekben prímszámnyi kavicsnak kell lennie külön-külön, amelyek összege 17. De két páratlan prím összege nem lehet páratlan, tehát az egyik prímnek az egyetlen páros prímnek, azaz a 2-nek kellene lennie, de akkor a maradék 15, ami nem prím.

A legelső megoldó és a megoldásokért kiosztott banánok megtalálhatók a Dicsőségfalon!

Kapcsolódó cikk a Qubiten: