Mire jó egy járványmodell, és mire nem?

A Qubiten már ismertetett járványmodellek, a SIR és a SEIR akkor működnek a legjobban, ha nagyon nagy és alapvetően jól keveredő populációt modelleznek. Amikor semmilyen távolságtartási intézkedés nincs hatályban, és szabadon megyünk koncertre, moziba, vendéglőbe vagy kirándulni, a populáció igen jelentős része jól keveredik, és egy cseppfertőzéssel terjedő kórokozó szabadon terjedhet. Ebben az esetben a lakosság jelentős része megfertőződik, az egészségügyi rendszer sokszorosan túlterhelődik, és sokan meghalnak. Ennek belátására ez a modell elegendő.

A modell bonyolítható több korosztály figyelembe vételével, amelyek találkozási rátája vagy gyógyulási kilátásai különbözők. Az amerikai tudományos akadémia lapjában (PNAS) megjelent tanulmány például négy korosztályra bontja a népességet (0–19, 20–49, 50–64, 65+), a fertőző stádiumban lévő betegeknél pedig megkülönböztet enyhe tünetekkel rendelkezőket, súlyos tünetekkel rendelkezőket, nem-intenzív kórházi ápolásra szorulókat és intenzív ápolásra szorulókat. A nem kórházban gyógyulóknál külön kezeli azokat, akik betartják a karantén-előírásokat (az USA-ban szövetségi szinten nem rendeltek el kijárási korlátozást, de az egyes államok közül van, ahol igen) és azokat, akik nem. Egyébként azt találták, hogy a legfontosabb, hogy az enyhe tüneteket mutatók minél hamarabb vonuljanak karanténba. Ezzel csökkenhet leginkább a vírus továbbadása és így az egészségügy leterheltsége.

A kritikus infrastruktúra időbeli igényét nem adja jól vissza az egyszerű modell

Azt látjuk a világban, hogy a fő kérdés, hogy mennyi kórházi ágyra, intenzív ágyra és lélegeztetőgépre van szükség. Ez az a kritikus infrastruktúra, aminek hiánya korlátozhatja a gyógyító munkát. Ehhez ismernünk kell, hogy egy adott beteg hány napot tölt kórházban, illetve hány napig szükséges számára a mesterséges lélegeztetés.

Az alap S(E)IR modellben a gyógyulásnak van egy fix rátája, amely az egyes időintervallumokban meggyógyult betegek arányát mutatja százalékban. Azaz az egyes stádiumok közötti átmeneti valószínűség, például a gyógyulás valószínűsége független attól, hogy mennyi időt töltött egy adott személy abban az állapotban. A betegek száma pedig exponenciálisan csökken. Tegyük fel, hogy egy betegnek átlagosan 10 napig van szüksége kórházi kezelésre (Wang et al. 2020). Ebben az esetben a betegek 50 százaléka a 7. napon, 65 százaléka a 10. napon meggyógyul, és a 44. napon csökken 1 százalék alá a betegek száma. A modell szerint a gyógyulások 50 százaléka a 3. és a 13. nap közé esik, a kórházi adatok alapján viszont a 6. és a 12. nap közé, magyarán a valóságban a modellnél szűkebb intervallumba várjuk a gyógyulást, és például nem feltételezzük, hogy valaki másnapra felépül.

photo_camera A gyógyulás valós üteme (fekete), a modellekben szereplő exponenciális ütem (piros) és egyéb lecsengések (színes)

Egy tanulmány (Wearing et al. 2005) már 2005-ben  felhívta a figyelmet arra, hogy az exponenciális eloszlással számolt inkubációs idő és gyógyulási idő erősen torzítja a járvány lefutásának becslését és az alkalmazható intézkedések kimenetelét. Megoldásként lehetséges, hogy a modellben további E (exposed, lappangó) és I (infected, fertőzött) állapotokat vezetünk be, amelyeken a fertőzötteknek át kell esniük, hogy végül az új stádiumba kerüljenek. Ilyen görbék láthatók a fenti ábrán (egy I állapot: exponenciális csökkenés, 2-3-4-szeres I állapot: késleltetett gyógyulás, kisebb szórás). A szegedi járványtanászok is ezt a módszert használták egy a COVID-19 járvány korai elterjedését modellező tanulmányukban (Boldog et al. 2020).

photo_camera Csúcsosodó járványgörbék két lappangó (E) és egy vagy több ferőző állapottal (I) számolva

Egy modellben, amelyben két lappangó (E) állapoton és egy vagy több fertőző (I) állapoton keresztül számoljuk a járvány kiteljesedését (R0 = 2,2; lappangási idő 5,2 nap; gyógyulás ideje 10 nap) az összes megfertőzött száma nem változik, de a fertőzöttek számának a csúcsa igen. Minél szűkebb az az intervallum, amiben a valós gyógyulást várjuk (lásd fent az eredeti 3-13 nap helyett a reálisabb 6-12 napot), annál kisebb időintervallumra koncentrálódik a járvány tetőzése. Ez egyben azt is jelenti, hogy ilyenkor a csúcson a betegek száma akár több százezer emberrel több is lehet, cserébe a járvány gyorsabban lecseng.

A második járványhullámot okozhatja a rossz modell és a kívülről behurcolás is

A járvány lecsengésénél ütközik ki a S(E)IR modell újabb problémája, ami viszont nagyon technikai jellegű. Mivel az egyes állapotban levő emberek számát a modellben folytonos változóval (valós számmal) ábrázoljuk, így a számításokban elképzelhető, hogy tört mennyiségű fertőző van. Amikor egymillióan fertőzöttek, akkor ez lényegtelen. Viszont amikor kevés, mondjuk már csak 0,8 fertőzött van (akármit is jelentsen ez a valóságban), akkor ez probléma. A modellekben használt exponenciális csökkenés (amikor a nyájimmunitás vagy az intézkedés miatt az effektív reprodukciós ráta 1 alatti) végtelen idő múlva éri el a 0-át, a valóságos csökkenés ezzel szemben véges idő alatt megy végbe: egyszer vége lesz, és kész.

Vegyünk két megközelítést. Az egyik az alapeset, hogy folytonos változóval ábrázoljuk az egyes stádiumokban levő személyek számát. A másikban ezzel ellentétben kerekítjük az egyes stádiumokban levő emberszámot, tehát nem engedünk fél emberekkel való számolást. Mindkét modellben, amikor a betegek száma eléri a 10 százalékot (hogy látványos legyen a történés) az addigi 2,2-es reprodukciós rátát 0,9-re csökkentjük egészen addig, amíg 1 alá nem esik a fertőzöttek száma. Ezután a vírust – elméletben – újból szabadjára engedjük. 

photo_camera A modellek gyakran tört számú emberekkel is számolnak, ez azt is jelentheti, hogy egy a valóságban lecsengő járvány (bal) helyett tévesen egy kiújuló járvánnyal (jobb) kalkulálunk, és erre készülünk.

Az alap S(E)IR modellnél (jobbról) a járvány kiújul, mert 0,8 ember is képes fertőzni, és a modell egy második, még intenzívebb járványhullámot jelez előre. Ezzel szemben a valóságban (balról) nincs tört számú ember, és ilyenkor a járványnak vége van. Ahogy ebből is látszik, és mi is többször leírtuk, ezek a modellek sok embernél működnek jól,  a járvány kezdetén és végén viszont tipikusan rosszul adják vissza a történéseket.

A kiújulás lehetőségével minden ország számol. Nem azért, mert rossz modellt használnak, hanem mert pontosan tisztában vannak a modellek még egy fontos korlátával: azzal, hogy egy zárt rendszerre vonatkoznak. Az országok, államok viszont nem zárt rendszerek: emberek mennek ki és be, még jelenleg is, hiszen a nemzetközi fuvarozás nem állt le – ráadásul a korlátozások is véget fognak érni egyszer. És ahogy Kínában, Dél-Koreában vagy épp Szingapúrban láttuk március végén–április elején, hiába a nagyszerű védekezés, ha az új esetek zöme kívülről érkezik. A modellek belföldre vonatkoznak, a járvány kívülről bármikor újraindulhat.

A szerző biológus kutató.

Kapcsolódó cikkek a Qubiten: