Mire jó egy járványmodell, és mire nem?

Nincsen túlélhető és fenntartható jövőnk tudomány nélkül, ahogy nekünk sincsen nélkületek. Támogasd a Qubit munkáját!

A Qubiten már ismertetett járványmodellek, a SIR és a SEIR akkor működnek a legjobban, ha nagyon nagy és alapvetően jól keveredő populációt modelleznek. Amikor semmilyen távolságtartási intézkedés nincs hatályban, és szabadon megyünk koncertre, moziba, vendéglőbe vagy kirándulni, a populáció igen jelentős része jól keveredik, és egy cseppfertőzéssel terjedő kórokozó szabadon terjedhet. Ebben az esetben a lakosság jelentős része megfertőződik, az egészségügyi rendszer sokszorosan túlterhelődik, és sokan meghalnak. Ennek belátására ez a modell elegendő.

A modell bonyolítható több korosztály figyelembe vételével, amelyek találkozási rátája vagy gyógyulási kilátásai különbözők. Az amerikai tudományos akadémia lapjában (PNAS) megjelent tanulmány például négy korosztályra bontja a népességet (0–19, 20–49, 50–64, 65+), a fertőző stádiumban lévő betegeknél pedig megkülönböztet enyhe tünetekkel rendelkezőket, súlyos tünetekkel rendelkezőket, nem-intenzív kórházi ápolásra szorulókat és intenzív ápolásra szorulókat. A nem kórházban gyógyulóknál külön kezeli azokat, akik betartják a karantén-előírásokat (az USA-ban szövetségi szinten nem rendeltek el kijárási korlátozást, de az egyes államok közül van, ahol igen) és azokat, akik nem. Egyébként azt találták, hogy a legfontosabb, hogy az enyhe tüneteket mutatók minél hamarabb vonuljanak karanténba. Ezzel csökkenhet leginkább a vírus továbbadása és így az egészségügy leterheltsége.

A kritikus infrastruktúra időbeli igényét nem adja jól vissza az egyszerű modell

Azt látjuk a világban, hogy a fő kérdés, hogy mennyi kórházi ágyra, intenzív ágyra és lélegeztetőgépre van szükség. Ez az a kritikus infrastruktúra, aminek hiánya korlátozhatja a gyógyító munkát. Ehhez ismernünk kell, hogy egy adott beteg hány napot tölt kórházban, illetve hány napig szükséges számára a mesterséges lélegeztetés.

Az alap S(E)IR modellben a gyógyulásnak van egy fix rátája, amely az egyes időintervallumokban meggyógyult betegek arányát mutatja százalékban. Azaz az egyes stádiumok közötti átmeneti valószínűség, például a gyógyulás valószínűsége független attól, hogy mennyi időt töltött egy adott személy abban az állapotban. A betegek száma pedig exponenciálisan csökken. Tegyük fel, hogy egy betegnek átlagosan 10 napig van szüksége kórházi kezelésre (Wang et al. 2020). Ebben az esetben a betegek 50 százaléka a 7. napon, 65 százaléka a 10. napon meggyógyul, és a 44. napon csökken 1 százalék alá a betegek száma. A modell szerint a gyógyulások 50 százaléka a 3. és a 13. nap közé esik, a kórházi adatok alapján viszont a 6. és a 12. nap közé, magyarán a valóságban a modellnél szűkebb intervallumba várjuk a gyógyulást, és például nem feltételezzük, hogy valaki másnapra felépül.

A gyógyulás valós üteme (fekete), a modellekben szereplő exponenciális ütem (piros) és egyéb lecsengések (színes)

Egy tanulmány (Wearing et al. 2005) már 2005-ben  felhívta a figyelmet arra, hogy az exponenciális eloszlással számolt inkubációs idő és gyógyulási idő erősen torzítja a járvány lefutásának becslését és az alkalmazható intézkedések kimenetelét. Megoldásként lehetséges, hogy a modellben további E (exposed, lappangó) és I (infected, fertőzött) állapotokat vezetünk be, amelyeken a fertőzötteknek át kell esniük, hogy végül az új stádiumba kerüljenek. Ilyen görbék láthatók a fenti ábrán (egy I állapot: exponenciális csökkenés, 2-3-4-szeres I állapot: késleltetett gyógyulás, kisebb szórás). A szegedi járványtanászok is ezt a módszert használták egy a COVID-19 járvány korai elterjedését modellező tanulmányukban (Boldog et al. 2020).

Csúcsosodó járványgörbék két lappangó (E) és egy vagy több ferőző állapottal (I) számolva

Egy modellben, amelyben két lappangó (E) állapoton és egy vagy több fertőző (I) állapoton keresztül számoljuk a járvány kiteljesedését (R0 = 2,2; lappangási idő 5,2 nap; gyógyulás ideje 10 nap) az összes megfertőzött száma nem változik, de a fertőzöttek számának a csúcsa igen. Minél szűkebb az az intervallum, amiben a valós gyógyulást várjuk (lásd fent az eredeti 3-13 nap helyett a reálisabb 6-12 napot), annál kisebb időintervallumra koncentrálódik a járvány tetőzése. Ez egyben azt is jelenti, hogy ilyenkor a csúcson a betegek száma akár több százezer emberrel több is lehet, cserébe a járvány gyorsabban lecseng.

A második járványhullámot okozhatja a rossz modell és a kívülről behurcolás is

A járvány lecsengésénél ütközik ki a S(E)IR modell újabb problémája, ami viszont nagyon technikai jellegű. Mivel az egyes állapotban levő emberek számát a modellben folytonos változóval (valós számmal) ábrázoljuk, így a számításokban elképzelhető, hogy tört mennyiségű fertőző van. Amikor egymillióan fertőzöttek, akkor ez lényegtelen. Viszont amikor kevés, mondjuk már csak 0,8 fertőzött van (akármit is jelentsen ez a valóságban), akkor ez probléma. A modellekben használt exponenciális csökkenés (amikor a nyájimmunitás vagy az intézkedés miatt az effektív reprodukciós ráta 1 alatti) végtelen idő múlva éri el a 0-át, a valóságos csökkenés ezzel szemben véges idő alatt megy végbe: egyszer vége lesz, és kész.

Ha tetszik, amit csinálunk, ha te is fontosnak tartod, hogy magyar nyelven legyen egy okos és közérthető lap, ami nem a politikai barikádok csatazajáról tudósít, hanem a ránk váró – bátran mondjuk ki, ez az év is megmutatta, mennyire nem túlzás ez – civilizációs kihívásokkal foglalkozik, ami fel meri tenni a jövőnkkel kapcsolatos igazi kérdéseket, és meg is mutatja a modern tudomány válaszait mindezekre, nos ha ez szerinted is olyan égetően fontos, ahogy mi gondoljuk: heroikus munkát végző öt újságíróval, sok tucatnyi kutatóval és csak egy egészen kicsi kiadóval a hátunk mögött, akkor támogasd a munkánkat rendszeresen – számít a segítséged!

Vegyünk két megközelítést. Az egyik az alapeset, hogy folytonos változóval ábrázoljuk az egyes stádiumokban levő személyek számát. A másikban ezzel ellentétben kerekítjük az egyes stádiumokban levő emberszámot, tehát nem engedünk fél emberekkel való számolást. Mindkét modellben, amikor a betegek száma eléri a 10 százalékot (hogy látványos legyen a történés) az addigi 2,2-es reprodukciós rátát 0,9-re csökkentjük egészen addig, amíg 1 alá nem esik a fertőzöttek száma. Ezután a vírust – elméletben – újból szabadjára engedjük. 

A modellek gyakran tört számú emberekkel is számolnak, ez azt is jelentheti, hogy egy a valóságban lecsengő járvány (bal) helyett tévesen egy kiújuló járvánnyal (jobb) kalkulálunk, és erre készülünk.

Az alap S(E)IR modellnél (jobbról) a járvány kiújul, mert 0,8 ember is képes fertőzni, és a modell egy második, még intenzívebb járványhullámot jelez előre. Ezzel szemben a valóságban (balról) nincs tört számú ember, és ilyenkor a járványnak vége van. Ahogy ebből is látszik, és mi is többször leírtuk, ezek a modellek sok embernél működnek jól,  a járvány kezdetén és végén viszont tipikusan rosszul adják vissza a történéseket.

A kiújulás lehetőségével minden ország számol. Nem azért, mert rossz modellt használnak, hanem mert pontosan tisztában vannak a modellek még egy fontos korlátával: azzal, hogy egy zárt rendszerre vonatkoznak. Az országok, államok viszont nem zárt rendszerek: emberek mennek ki és be, még jelenleg is, hiszen a nemzetközi fuvarozás nem állt le – ráadásul a korlátozások is véget fognak érni egyszer. És ahogy Kínában, Dél-Koreában vagy épp Szingapúrban láttuk március végén–április elején, hiába a nagyszerű védekezés, ha az új esetek zöme kívülről érkezik. A modellek belföldre vonatkoznak, a járvány kívülről bármikor újraindulhat.

A szerző biológus kutató.

Kapcsolódó cikkek a Qubiten: